Teleskopsumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Wert der Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+kn} [/mm] |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2+kn} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+k)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1-n}{n(n+k)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n(n+k)}-\bruch{n}{n(n+k)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n+1}{n(n+k)}-\bruch{1}{(n+k)}
[/mm]
...leider Fehlen mir nun die Ideen, wie könnte ich weiter kommen?
|
|
| |
|
Huhu,
deine Zerlegung ist etwas unpraktisch, wie du selbst schon festgestellt hast.
Wähle eine Zerlegung der Form
[mm] $\bruch{1}{n(n+k)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{n} [/mm] + [mm] \bruch{B}{n+k}$ [/mm] und dann Teleskopsumme 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
> Huhu,
>
> deine Zerlegung ist etwas unpraktisch, wie du selbst schon
> festgestellt hast.
>
> Wähle eine Zerlegung der Form
Leider komme ich auf keine Sinnvolle Zerlegung und mit einem anderen Wert erweitern hilft mir auch nicht...
> [mm]\bruch{1}{n(n+k)} = \bruch{A}{n} + \bruch{B}{n+k}[/mm] und dann
> Teleskopsumme
>
> MFG,
> Gono.
Leider komme ich auf keine sinnvolle Zerlegung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Do 20.05.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bestimme doch erstmal, wie vorgeschlagen, A und B, so dass:
[mm] \bruch{1}{n(n+k)}=\bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+k}
[/mm]
Dieses Verfahren - die sogenannte  Partialbruchzerlegung - ist ein durchaus oft verwendetes Mittel, um Grenzwerte/Summen etc. zu bestimmen..
Marius
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> Bestimme doch erstmal, wie vorgeschlagen, A und B, so
> dass:
>
> [mm]\bruch{1}{n(n+k)}=\bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+k}[/mm]
> Für A brauche ich (n+k) und für B benötige ich n...doch leider stört meine 1 im Zähler...
ich kann mir n+k erweitern, dann habe ich:
[mm]\bruch{1}{n(n+k)}=\bruch{1+(n+k)-(n+k)}{n(n+k)}=\bruch{1+(n+k)}{n(n+k)}-\bruch{(n+k)}{n(n+k)}=\bruch{1+n+k}{n(n+k)}-\bruch{1}{n}[/mm]
...bringt mir leider nichts
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 20.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo
> >
> > Bestimme doch erstmal, wie vorgeschlagen, A und B, so
> > dass:
> >
> > [mm]\bruch{1}{n(n+k)}=\bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+k}[/mm]
> > Für A brauche ich (n+k) und für B benötige ich
> n...doch leider stört meine 1 im Zähler...
>
>
> ich kann mir n+k erweitern, dann habe ich:
>
> [mm]\bruch{1}{n(n+k)}=\bruch{1+(n+k)-(n+k)}{n(n+k)}=\bruch{1+(n+k)}{n(n+k)}-\bruch{(n+k)}{n(n+k)}=\bruch{1+n+k}{n(n+k)}-\bruch{1}{n}[/mm]
>
> ...bringt mir leider nichts
starte so:
[mm] $$\frac{A}{n}+\frac{B}{n+k}=\frac{A(n+k)+Bn}{n*(n+k)}=\frac{(A+B)n+Ak}{n(n+k)}\,.$$
[/mm]
Da der Zähler von [mm] $n\,$ [/mm] unabhängig sein soll, muss dann $A+B=0$ gelten, und zudem muss $(A+B)n+Ak=1$ für jedes [mm] $k\,$ [/mm] sein.
Daher [mm] $A=\frac{1}{k}$ [/mm] und [mm] $A+B=0\,,$ [/mm] woraus Du nun noch [mm] $B\,$ [/mm] erhältst.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
