Temperaturänderung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:14 Di 01.06.2010 | | Autor: | rml_ |
| Aufgabe | Die Temperatur in Celsius ist in einem Gebiet gegeben durch T(x; y; z) = [mm] 2x^2 [/mm] -xyz.
Ein Teilchen bewegt sich in dem Gebiet, wobei die Position zum Zeitpunkt t gegeben ist durch x(t) = [mm] 2t^2; [/mm] y(t) = 3t und z(t) = [mm] -t^2. [/mm] Dabei wird die Zeit in Sekunden und die Länge in Metern gemessen.
(a) Wie schnell ist die Temperaturänderung in C/m, die das Teilchen am Punkt P = (8; 6; -4) verspürt? |
könnte mir jemand erklären, was genau ich hier machen soll, bin grad i.wie total erschlagen von der aufgabenstellung.
danke
|
|
| |
|
Hallo!
> Die Temperatur in Celsius ist in einem Gebiet gegeben durch
> T(x; y; z) = [mm]2x^2[/mm] -xyz.
> Ein Teilchen bewegt sich in dem Gebiet, wobei die Position
> zum Zeitpunkt t gegeben ist durch x(t) = [mm]2t^2;[/mm] y(t) = 3t
> und z(t) = [mm]-t^2.[/mm] Dabei wird die Zeit in Sekunden und die
> Länge in Metern gemessen.
> (a) Wie schnell ist die Temperaturänderung in C/m, die
> das Teilchen am Punkt P = (8; 6; -4) verspürt?
> könnte mir jemand erklären, was genau ich hier machen
> soll, bin grad i.wie total erschlagen von der
> aufgabenstellung.
Du sollst hier, offensichtlich unter Zuhilfenahme vektoranalytischer Differentialoperatoren, die Temperaturänderung eines Teilchens an einem ganz bestimmten Punkt des Temperaturfeldes berechnen.
Hinweis:
Bei dem von dir angegebenen Feld handelt es sich offensichtlich um ein Skalarfeld. Unter den nötigen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen ist in natürlicher Weise jedem Skalarfeld ein Vektorfeld zugeordnet.
Ist [mm] f:\IR^{3}\to\IR [/mm] ein Skalarfeld, so heißt
[mm] grad{f}:=(\bruch{\partial{f}}{\partial{x}},\bruch{\partial{f}}{\partial{y}},\bruch{\partial{f}}{\partial{z}}) [/mm] Gradient von f
Weiterhin ist
[mm] grad{f}:\IR^{3}\to\IR^{3} [/mm]
ein Vektorfeld
Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Di 01.06.2010 | | Autor: | rml_ |
ok also sprich die gleichung nach x,y, z ableiten= gradient
aber was ist der gradient, und was rechne ich mit ihm aus?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> ok also sprich die gleichung nach x,y, z ableiten=
> gradient
>
> aber was ist der gradient und was rechne ich mit ihm aus?
Es ist [mm] \nabla{f}=grad{f}, [/mm] mit [mm] \nabla=(\bruch{\partial}{\partial{x}},\bruch{\partial}{\partial{y}},\bruch{\partial}{\partial{z}}), [/mm] also das Produkt aus einem Skalarfeld f=f(x,y,z) und dem [mm] \nabla-Operator.
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] ist dabei ein als Vektor aufzufassender, formaler Differentialoperator , mit dem sich u.a. die Operation "grad" in einheitlicher Form schreiben lässt.
Durch die Anwendung des [mm] \nabla-Operators [/mm] auf ein Skalarfeld erhält man ein Vektorfeld, dass neben der Richtung auch die Änderungsrate der größten Änderung des Skalarfeldes angibt.
Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 01.06.2010 | | Autor: | rml_ |
also der gradient in meiner aufgabe wäre dann: [mm] \left( 4x-yz; -xz; -xy\right)
[/mm]
stimmt das?
|
|
|
| |
|
> also der gradient in meiner aufgabe wäre dann: [mm]\left( 4x-yz; -xz; -xy\right)[/mm]
>
> stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:08 Di 01.06.2010 | | Autor: | rml_ |
Durch die Anwendung des $ [mm] \nabla-Operators [/mm] $ auf ein Skalarfeld erhält man ein Vektorfeld, dass neben der Richtung auch die Änderungsrate der größten Änderung des Skalarfeldes angibt.
ok, und was genau sagt mir hier die Änderungsrate? inwiefern bring ich jetzt den Punkt in sspiel?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Di 01.06.2010 | | Autor: | rml_ |
meine mitteiliung war als frage gedacht:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 03.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
> Die Temperatur in Celsius ist in einem Gebiet gegeben durch
> T(x; y; z) = [mm]2x^2[/mm] -xyz.
> Ein Teilchen bewegt sich in dem Gebiet, wobei die Position
> zum Zeitpunkt t gegeben ist durch x(t) = [mm]2t^2;[/mm] y(t) = 3t
> und z(t) = [mm]-t^2.[/mm] Dabei wird die Zeit in Sekunden und die
> Länge in Metern gemessen.
> (a) Wie schnell ist die Temperaturänderung in C/m, die
> das Teilchen am Punkt P = (8; 6; -4) verspürt?
> könnte mir jemand erklären, was genau ich hier machen
> soll, bin grad i.wie total erschlagen von der
> aufgabenstellung.
>
> danke
Hallo rml_
ich versuche eine Erklärung, die ohne die Fachbegriffe Feld,
Gradient etc. auskommt.
Der Punkt $\ P(8\ /\ 6\ /\ -4)$ gehört offenbar zum Zeitpunkt [mm] t_0=2 [/mm] (Sekunden).
Zu einem benachbarten Zeitpunkt [mm] t_0+\Delta{t} [/mm] hat sich das Teilchen
auf seiner Bahn ein wenig weiterbewegt und befindet sich nun
an einer Stelle $\ [mm] P'(8+\Delta{x}\ [/mm] /\ [mm] 6+\Delta{y}\ [/mm] /\ [mm] -4+\Delta{z})$.
[/mm]
[mm] \Delta{x} [/mm] , [mm] \Delta{y} [/mm] und [mm] \Delta{z} [/mm] lassen sich durch [mm] \Delta{t} [/mm] ausdrücken.
Ebenso lassen sich die Temperaturen T (in P) und T'(in P') mittels
Zahlen und [mm] \Delta{t} [/mm] darstellen. Die Temperaturveränderung ist
[mm] \Delta{T}=T'-T [/mm] .
Die Strecke, um welche sich das Teilchen in dem kurzen Zeit-
intervall bewegt hat, entspricht (ungefähr) dem Betrag [mm] \Delta{s} [/mm] des
Verschiebungsvektors $\ [mm] (\Delta{x}\ [/mm] /\ [mm] \Delta{y}\ [/mm] /\ [mm] \Delta{z})$.
[/mm]
Der gesuchte Wert ist nun die (räumliche) Änderungsrate der Temperatur
beim Punkt P, mit anderen Worten der Grenzwert des Quotienten
[mm] $\frac{\Delta{T}}{\Delta{s}}$
[/mm]
für [mm] \Delta{s} [/mm] gegen Null.
Vielleicht ist es für das Verständnis nützlich, wenn du zuerst
ein konkretes Beispiel (etwa für [mm] \Delta{t}=0.001) [/mm] numerisch durchrechnest
und dann erst versuchst, das Ganze mittels Ableitungen
(und partiellen Ableitungen) zu beschreiben.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Di 01.06.2010 | | Autor: | rml_ |
wow ok danke, denke ich werde definitiv noch paar fragen haben, aber fürs erste versuch ich es erstmal:)
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Di 01.06.2010 | | Autor: | rml_ |
gleich zu beginn:)
[mm] \Delta{T}=T'-T [/mm] , ist das T' die ableitung?
und wieso ist [mm] t_0 [/mm] = 2?
|
|
|
| |
|
> gleich zu beginn:)
>
> [mm]\Delta{T}=T'-T[/mm] , ist das T' die ableitung?
Nein, sondern die Temperatur im Punkt P' .
Besser verständlich wären folgende Bezeichnungen gewesen:
[mm] t_0\quad P_0\quad T_0 [/mm] für Zeit, Ort und Temperatur des gegebenen Punktes
[mm] t_1\quad P_1\quad T_1 [/mm] für Zeit, Ort und Temperatur des benachbarten Punktes
> und wieso ist [mm]t_0[/mm] = 2?
Schau dir die Koordinaten des gegebenen Punktes sowie
die Bahngleichungen des Teilchens an !
LG Al-Chw.
|
|
|
|
