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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Hallo zusammen,
ich versuche die folgende Behauptung zu beweisen und bauche dringend Hilfe.
Seien $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $s, t$ Tensoren mit derselben
Varianz. Man beweise: $s [mm] \otimes [/mm] t = −t [mm] \otimes [/mm] s$ genau dann, wenn $s = 0$ oder $ t = 0$
Kann mir Jemand sagen, was mit Varianz gemeint wird ?
Ich vermute, mit Varianz wird gemeint, dass Tensoren s und t die selben Elemente besitzen.
Wenn das der Fall ist, dann wuerde ich so vorgehen.
Zz: $s [mm] \otimes [/mm] t= -t [mm] \otimes [/mm] s$ $ [mm] \iff [/mm] s$ oder $t =0$
Beweis:
Sei s,t ein Tensor, $s,t: [mm] V_1 \imes...V_n \to [/mm] K$,dabei sind [mm] $V_i \in \{V,V^\* \}, [/mm] x,y [mm] \in V_1 |imes...V_n$.
[/mm]
Nach Definition gilt :
$s [mm] \otimes [/mm] t(x,y)= -t [mm] \otimes [/mm] s (x,y) [mm] \iff [/mm] s(x)t(y)=-t(y)s(x) [mm] \iff 2s(x)t(y)=0(\*)$
[/mm]
da fuer jedes $x,y$ ein a,b existiert mit $s(x)t(a)=1=t(y)(b)$, muss s oder t =0 sein, damit * erfuelt ist.
Viele Gruesse
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Sa 27.08.2011 | | Autor: | hippias |
Ein Tensor ist hier wohl eine multilineare Abbildung [mm] $:\times_{i=0}^{r}V \times \times_{j=0}^{s}V^{d}\to [/mm] R$, wobei [mm] $V^{d}$ [/mm] der Dualraum ist. $r$ und $s$ bezeichnen die Varainz des Tensors, genauer er ist kontravariant von der Stufe $r$ und kovariant von der Stufe $s$.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:44 Sa 27.08.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen dank fuer die Antwort.
Jetzt weiss ich was mit Varianz gemeint wird, mir fehlt trotzdem die Idee, wie ich vorgehen soll.
Auf ein Tipp wuerde ich mich freuen.
Viele Gruesse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 29.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Sa 27.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ein Tensor ist hier wohl eine multilineare Abbildung
> [mm]:\times_{i=0}^{r}V \times \times_{j=0}^{s}V^{d}\to R[/mm], wobei
Sollten die Produkte nicht bei 1 anfangen anstelle bei 0?
> [mm]V^{d}[/mm] der Dualraum ist. [mm]r[/mm] und [mm]s[/mm] bezeichnen die Varainz des
> Tensors, genauer er ist kontravariant von der Stufe [mm]r[/mm] und
> kovariant von der Stufe [mm]s[/mm].
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Fr 02.09.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Kann der Beweis so verlaufen?
$Sei s,t : v_ [mm] \otimes v_2.. \otimes v_n \to [/mm] K$
[mm] $s\otimes [/mm] t = -t [mm] \otimes [/mm] s [mm] \iff [/mm] 2 s [mm] \otimes [/mm] t=0$
Angenommen s,t ungleich Null, dann existier ein$ x,y [mm] \in [/mm] v_ [mm] \otimes v_2.. \otimes v_n \to [/mm] K$, sodass $s(x),t(y) [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \iff s(x)t(y)\neq [/mm] 0 [mm] \iff [/mm] 2s(x)t(y) [mm] \neq [/mm] 0$
das steht in Widerspruch zu der Voraussetzung, folglich muss s oder t =0 sein.
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 So 04.09.2011 | | Autor: | Dath |
Nein. Du hast bei einem Tensorprodukt zweier Tensoren nicht gegeben, dass es ein antikommutierendes Produkt ist. Du spielst auf das äußere Produt (wedge product) bei Differentialformen an, aber dieses ist nicht äquivalent zum Tensorprodukt, sondern ist der Quotient aus dem Tensorprodukt der beiden Räume, zu dem die Tensoren gehören, modulo dem Ideal derjenigen Elemente, für die zwei Elemente der Basis gleich sind.
Ein Tipp: Geh' mal von endlichdimensionalen Vektorräumen aus, die eine Basis besitzen. Dann überleg dir, inwiefern du zwischen dem Tensorprodukt der Räume und dem kartesischen Produkt der Räume eine Relation herstellen kannst (siehe Wikipedia-Artikel). Dann überleg dir, was diese Relation für die einzelnen Elemente des tensorraumes bedeutet.
Ah ja: Ich habe vorher von vektorräumen geredet. Es langt in der Tat, von vektorräumen auzugehen, bzw., wenn du mit dem Tensorraum arbeiten willst, fasse den tensorraum als Vektorraum auf.
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