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| Aufgabe | | Es sei [mm] V=\IR^{3} [/mm] ausgestattet mit dem kanonischen Skalarprodukt [mm] \pi:= [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR. [/mm] Es sei [mm] \mu:= [/mm] V [mm] \otimes [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] die induzierte lineare Abbildung. Geben Sie (mit Beweis) eine Basis von [mm] ker(\mu) [/mm] an. |
Hallo
Bin nach eingem rumrechenen darauf gekommen, dass v [mm] \otimes [/mm] u = 0 [mm] \gdw [/mm] v=0 [mm] \vee [/mm] u=0 [mm] \vee [/mm] v [mm] \perp [/mm] u mit v,u [mm] \in [/mm] V.
Das müsste ich natürlich noch beweisen, aber bevor ich mir die Mühe mache, würd ich gern wissen, ob das überhaupt in die richtige Richtung geht.
Meine Rechnung war ungefähr folgende:
v [mm] \otimes [/mm] u = [mm] \summe_{i,j=1}^{3} (\lambda_{i} \mu_{j} \pi(v_{i},v_{j})) [/mm] = [mm] \summe_{i,j=1}^{3} (\lambda_{i} \mu_{j} \delta_{ij}) \Rightarrow [/mm] meine Behauptung
so ungefähr...
Wär echt nett, wenn das mal jemand kommentiert!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Mi 18.06.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Es sei [mm]V=\IR^{3}[/mm] ausgestattet mit dem kanonischen
> Skalarprodukt [mm]\pi:=[/mm] V [mm]\times[/mm] V [mm]\to \IR.[/mm] Es sei [mm]\mu:=[/mm] V
> [mm]\otimes[/mm] V [mm]\to \IR[/mm] die induzierte lineare Abbildung. Geben
> Sie (mit Beweis) eine Basis von [mm]ker(\mu)[/mm] an.
> Bin nach eingem rumrechenen darauf gekommen, dass v
> [mm]\otimes[/mm] u = 0 [mm]\gdw[/mm] v=0 [mm]\vee[/mm] u=0 [mm]\vee[/mm] v [mm]\perp[/mm] u mit v,u [mm]\in[/mm]
> V.
Was sind hier u und v? Nach meinem Verständnis steht der Nullvektor auf jedem anderen Vektor senkrecht.
> Das müsste ich natürlich noch beweisen, aber bevor ich mir
> die Mühe mache, würd ich gern wissen, ob das überhaupt in
> die richtige Richtung geht.
> Meine Rechnung war ungefähr folgende:
> v [mm]\otimes[/mm] u = [mm]\summe_{i,j=1}^{3} (\lambda_{i} \mu_{j} \pi(v_{i},v_{j}))[/mm]
> = [mm]\summe_{i,j=1}^{3} (\lambda_{i} \mu_{j} \delta_{ij}) \Rightarrow[/mm]
> meine Behauptung
> so ungefähr...
> Wär echt nett, wenn das mal jemand kommentiert!
Das geht anscheinend in die richtige Richtung. Da du mit einem konkreten VR arbeitest, kannst du auch mit einer konkreten Basis arbeiten. Welche Dimension hat denn V [mm] \otimes [/mm] V? Welche Dim. hat das Bild von [mm] \mu, [/mm] wie groß ist also der Kern?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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u und v sollten belibige Vektoren aus V sein.
Stimmt, dann kann ich das ganze ja auf
v [mm] \otimes [/mm] u = 0 [mm] \gdw [/mm] v [mm] \perp [/mm] u beschränken.
dim( V [mm] \otimes [/mm] V ) =9 und [mm] dim(im(\mu))=1 [/mm] (da [mm] \mu(v \otimes [/mm] u) [mm] \in \IR)
[/mm]
Dann ist [mm] dim(ker(\mu))=8
[/mm]
Ich wähle dann einfach mal die kanonische Basis von V [mm] (e_{1},e_{2},e_{3})
[/mm]
Daraus entsteht die Basis von V [mm] \otimes [/mm] V
[mm] e_{1} \otimes e_{1}, e_{1} \otimes e_{2}, e_{1} \otimes e_{3},
[/mm]
[mm] e_{2} \otimes e_{1}, e_{2} \otimes e_{2}, e_{2} \otimes e_{3}, [/mm]
[mm] e_{3} \otimes e_{1}, e_{3} \otimes e_{2}, e_{3} \otimes e_{3}
[/mm]
Bis auf [mm] e_{1} \otimes e_{1}, e_{2} \otimes e_{2}, e_{3} \otimes e_{3} [/mm] sind alle [mm] \mu(e_{i,j})=0, [/mm] das heißt, diese drei sind nicht im Kern von [mm] \mu...richtig? [/mm]
Dann hab ich aber nur noch sechs Elemente in der Basis des Kerns...wie komme ich an die anderen beiden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Mi 18.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> u und v sollten belibige Vektoren aus V sein.
> Stimmt, dann kann ich das ganze ja auf
> v [mm]\otimes[/mm] u = 0 [mm]\gdw[/mm] v [mm]\perp[/mm] u beschränken.
Hier bringst du etwas durcheinander! [mm] e_{1} [/mm] und [mm] e_{2} [/mm] sind orthogonal, aber [mm] e_{1} \otimes e_{2} [/mm] ist sogar ein Basiselement, also [mm] \not= [/mm] 0. Es wird aber auf 0 abgebildet.
> dim( V [mm]\otimes[/mm] V ) =9 und [mm]dim(im(\mu))=1 (\mu(v \otimes[/mm] u)
> [mm]\in \IR)[/mm]
> Dann ist [mm]dim(ker(\mu))=8[/mm]
>
> Ich wähle dann einfach mal die kanonische Basis von V
> [mm](e_{1},e_{2},e_{3})[/mm]
> Daraus entsteht die Basis von V [mm]\otimes[/mm] V
> [mm]e_{1} \otimes e_{1}, e_{1} \otimes e_{2}, e_{1} \otimes e_{3},[/mm]
>
> [mm]e_{2} \otimes e_{1}, e_{2} \otimes e_{2}, e_{2} \otimes e_{3},[/mm]
> [mm]e_{3} \otimes e_{1}, e_{3} \otimes e_{2}, e_{3} \otimes e_{3}[/mm]
>
> Bis auf [mm]e_{1} \otimes e_{1}, e_{2} \otimes e_{2}, e_{3} \otimes e_{3}[/mm]
> sind alle [mm]\mu(e_{i,j})=0,[/mm] das heißt, diese drei sind nicht
> im Kern von [mm]\mu...richtig?[/mm]
> Dann hab ich aber nur noch sechs Elemente in der Basis des
> Kerns...wie komme ich an die anderen beiden?
Untersuch doch mal die Linearkombinationen der 3 anderen, die selbst nicht im Kern liegen. Das hast du oben sogar schon gemacht, aber nicht zu Ende geführt.
Gruß
Dieter
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Ok, ich versuchs mal
v [mm] \otimes [/mm] u = [mm] \summe_{i,j=1}^{3}(\lambda_{i} \nu_{j} \delta_{ij}) [/mm] und es geht jetzt um den Fall i=j
Also muss [mm] \summe_{i,j=1}^{3}(\lambda_{i} \nu_{j})=0 \gdw \lambda=0 \forall [/mm] i oder [mm] \nu=0 \forall [/mm] j sein
Das sind dann wahrscheinlich die zwei Fälle die ich noch brauche, aber wie drücke ich das am Besten aus? Ist dann in dem einen Fall v=0 und in dem anderen u=0, also wären die zwei Elemente der Basis des Kerns [mm] (v_{i} \otimes 0)_{i} [/mm] und (0 [mm] \otimes u_{j})_{j}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Mi 18.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ok, ich versuchs mal
> v [mm]\otimes[/mm] u = [mm]\summe_{i,j=1}^{3}(\lambda_{i} \nu_{j} \delta_{ij})[/mm]
Das kann so nicht sein! Links steht ein Tensor und rechts eine Zahl, das paßt nicht zusammen.
Du mußt ansetzen u [mm] \otimes [/mm] v = [mm] \summe_{i, j=1}^{3} \lambda_{ij}e_{i}\otimes e_{j}
[/mm]
Was ist das Bild davon, und wann ist es = 0?
> und es geht jetzt um den Fall i=j
> Also muss [mm]\summe_{i,j=1}^{3}(\lambda_{i} \nu_{j})=0 \gdw \lambda=0 \forall[/mm]
> i oder [mm]\nu=0 \forall[/mm] j sein
>
> Das sind dann wahrscheinlich die zwei Fälle die ich noch
> brauche, aber wie drücke ich das am Besten aus? Ist dann in
> dem einen Fall v=0 und in dem anderen u=0, also wären die
> zwei Elemente der Basis des Kerns [mm](v_{i} \otimes 0)_{i}[/mm] und
> (0 [mm]\otimes u_{j})_{j}?[/mm]
v [mm] \otimes [/mm] 0 ist 0 (der Nullvektor), das kann kein Basiselement sein. Tensoren sind ein schwieriges Gelände. Aber bei Vektorräumen geht es noch...
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Mi 18.06.2008 | | Autor: | reginalex |
Ich versteh das alles mit den Tesorprodukten nicht....ich will doch nur Lehrer werden 
Ich hab jetzt leider auch keine Zeit mehr, muss gleich los zur Uni und die Aufgabe abgeben.
Werd unterwegs nochmal versuchen Ihre Tipps umzusetzten, aber
VIELEN DANK auf jeden Fall für die Hilfe so früh am Morgen!
Schönen Tag noch
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