Tensorprodukt < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mi 19.06.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Auf dem [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] \IC \otimes_{\IR} \IC [/mm] kann man eine Multiplikation definieren, für die
[mm] (z_1 \otimes z_2) [/mm] * [mm] (z_1' \otimes z_2') [/mm] = [mm] (z_1 z_1') \otimes (z_2 z_2')
[/mm]
für alle [mm] z_1, z_1', z_2, z_2' \in \IC [/mm] gilt. Zeigen sie, dass [mm] \IC \otimes_{\IR} \IC [/mm] mit dieser Multiplikation zwar eine [mm] \IR-Algebra, [/mm] aber kein Körper ist. |
Hallo.
Mein erstes Problem liegt darin, dass mir der Unterschied zwischen einer [mm] \IR-Algebra [/mm] und einem [mm] \IR [/mm] Vektorraum nicht ganz klar ist. Was fehlt dem einer [mm] \IR [/mm] Algebra zu einem [mm] \IR [/mm] Vektorraum? Ist es nur die Tatsache 1 * x = x?
Denn davon hängt ja ab, was ich noch alles an Eigenschaften zeigen muss. Wie beweise ich, dass es sich nicht um einen Körper handelt? Kann ich z.B. zeigen, dass diese Multiplikation nicht abelsch ist oder so?
Danke schonmal.
Gruß
|
|
| |
|
Hallo rollroll,
eine [mm] $\IR-$Algebra [/mm] ist nicht nur ein [mm] $\IR-$Vektorraum, [/mm] sondern auch noch ein Ring. Darüber hinaus sind die Multiplikation im Ring und die Skalarmultiplikation verträglich miteinander, für genaue Definitionen konsultiere am besten dein Skript bzw. das Buch, aus dem die Aufgabe stammt.
Du weißt sicher, wie man zeigen kann, dass ein Ring kein Körper ist, oder?
(Überlege dir zB, warum [mm] $\IZ$ [/mm] kein Körper ist, wie du das begründen würdest)
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mi 19.06.2013 | | Autor: | rollroll |
Naja, weil es in Z keine multiplikativen inversen gibt. Aber wie zeige ich das bzgl dieses tensorprodukts?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:46 Do 20.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Naja, weil es in Z keine multiplikativen inversen gibt.
> Aber wie zeige ich das bzgl dieses tensorprodukts?
Na, dazu musst du dir das Tensorprodukt erstmal genauer anschauen. Gib eine Basis davon an und schau dir an, wie das Produkt je zweier Basisvektoren aussieht.
Wenn du die Basisvektoren geschickt waehlst, wirst du uebrigens sehen, dass das Ergebnis isomorph zum Ring der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen ueber [mm] $\IR$ [/mm] ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie man von einem tensorprodukt eine Basis bestimmt. Habe das bisher noch nie gemacht. Wäre deshalb dankbar über eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:15 Fr 21.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ehrlich gesagt weiß ich nicht wie man von einem
> tensorprodukt eine Basis bestimmt. Habe das bisher noch
> nie gemacht. Wäre deshalb dankbar über eure Hilfe.
Verrat uns doch mal, was du ueber das Tensorprodukt weisst. Irgendwas werdet ihr ja schon dazu gemacht haben?
Wenn [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] eine $K$-Basis von $V$ und [mm] $w_1, \dots, w_m$ [/mm] eine $K$-Basis von $W$ ist, dann kann man eine $K$-Basis von $V [mm] \otimes_K [/mm] W$ recht einfach angeben. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das bei euch nie vorkam.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 22.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
