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| Aufgabe | Seien A ein lokaler Ring und M, N endlich erzeugte A-Moduln, für die M [mm] \otimes_{A} [/mm] N = 0 gilt. Zeigen Sie, dass M = 0 oder N = 0 gilt.
Hinweis: Führen Sie die Aussage mithilfe des Lemmas von Nakayama auf den Fall zurück, dass A ein Körper ist. |
Hallo,
also ich bin bisher wiefolgt vorgegangen: Sei m das maximale Ideal von A (da A lokal ist, existiert nur dieses eine). Setze k := A/m (dies ist dann ein Körper, da m maximales Ideal)
sowie [mm] M_{k} [/mm] := k [mm] \otimes_{A} [/mm] M.
In der Vorlesung hatten wir den Isomorphismus A/m [mm] \otimes_{A} [/mm] M [mm] \cong [/mm] M/mM, also gilt [mm] M_{k} \cong [/mm] M/mM.
Kann man zeigen, dass [mm] M_{k} [/mm] = 0 gilt, dann würde mM = M folgen und aufgrund des Lemmas von Nakayama
M = 0.
Ich möchte also deshalb gerne beweisen, dass [mm] M_{k} \otimes_{k} N_{k} [/mm] = 0 gilt. Da wir hier das Tensorprodukt über einem Körper betrachten, würde damit schon folgen, dass [mm] M_{k} [/mm] = 0 oder [mm] N_{k} [/mm] = 0 gilt und damit nach obigen Absatz die Behauptung.
Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das zeigen soll. Habe erst versucht, das ganze auszuschreiben, also [mm] M_{k} \otimes_{k} N_{k} [/mm] = (k [mm] \otimes_{A} [/mm] M) [mm] \otimes_{k} [/mm] (k [mm] \otimes_{A} [/mm] N), aber das hilft mir leider nicht weiter, da ich hier zum einen das Tensorprodukt über A und zum anderen das Tensorprodukt über k habe.
Wäre toll, wenn mir hier jemand helfen könnte, die Aufgabe lässt mir nämlich überhaupt keine Ruhe ;)
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Mo 21.05.2012 | | Autor: | hippias |
Ich wuerde wie Du anfangen. Ferner moechte ich eine bilineare Funktion auf [mm] $M\times [/mm] N$ konstruieren, mit deren Hilfe ich die Behauptung zeigen moechte.
Da $M/mM$ und $N/mN$ $k:= A/m$-VRe sind, gibt es zu Elementen [mm] $\neq [/mm] 0$ stets $k$-Basen, die diese Elemente enthalten. Sind also [mm] $x\in M\backslash [/mm] mM$ und [mm] $y\in N\backslash [/mm] mN$, so gibt es $A$-Modulhomo. [mm] $\phi:M\to [/mm] k$ bzw. [mm] $\psi:N\to [/mm] k$ mit [mm] $x^{\phi}= [/mm] 1$ und [mm] $y^{\psi}= [/mm] 1$ (Projektion auf die entsprechende Koordinate). Dann ist [mm] $\beta:M\times N\to [/mm] k$ mit [mm] $(a,b)\mapsto a^{\phi}b^{\psi}$ [/mm] $A$-bilinear. Folglich gibt es einen $A$-Modulhomomorphismus [mm] $\delta:M\otimes N\to [/mm] k$ mit [mm] $(a\otimes b)^{\delta}= \beta(a,b)$. [/mm] Aus der Voraussetzung folgt jetzt ein Widerspruch.
Der Rest ist wie schon angemerkt das Lemma von Nakayama.
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Leider verstehe ich vieles davon überhaupt nicht.
Für was braucht man, dass es zu jedem Element ungleich null eine k-Basis gibt, welche dieses Element enthält? Und wieso haben bel. x und y aus [mm] M\mM [/mm] bzw. [mm] N\mN [/mm] in einer Koordinate eine eins stehen? Denn sonst geht diese Projektion auf die "entsprechende" Koordinate ja gar nicht.
Und wieso stehen die Abb. Phi und Psi im Exponenten von x bzw. y?
Was mir auch nicht klar ist, was jetzt genau aus dem Widerspruch folgt. Es kann also so eine Abb. nicht geben, da M [mm] \otimes_{A} [/mm] N = 0, aber was folgt dann daraus?
Wäre nett, wenn du mir da noch ein bisschen weiterhelfen könntest.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Di 22.05.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort!
> Leider verstehe ich vieles davon überhaupt nicht.
>
> Für was braucht man, dass es zu jedem Element ungleich
> null eine k-Basis gibt, welche dieses Element enthält?
Das folgt aus dem Steinitz'schen Austauschsatz, vielleicht auch Basisergaenzungssatz genannt. Der wird im jedem Buch/jeder Vorlesung ueber Lin. Alg. behandelt.
> Und
> wieso haben bel. x und y aus [mm]M\mM[/mm] bzw. [mm]N\mN[/mm] in einer
> Koordinate eine eins stehen? Denn sonst geht diese
> Projektion auf die "entsprechende" Koordinate ja gar nicht.
Ich meinte folgendes: Wenn $x$ ein $k$-Basiselement ist, dann laesst sich jeder Vektor als [mm] $\lambda [/mm] x+$ Linearkombination der anderen Basiselemente darstellen. Dieses [mm] $\lambda$ [/mm] ist dann die Projektion des Vektors auf $x$ bzw. die Koordinate von $x$.
> Und wieso stehen die Abb. Phi und Psi im Exponenten von x
> bzw. y?
Das ist nur eine Schreibweise: [mm] $\phi(x)= x\phi= x^{\phi}$. [/mm]
> Was mir auch nicht klar ist, was jetzt genau aus dem
> Widerspruch folgt. Es kann also so eine Abb. nicht geben,
> da M [mm]\otimes_{A}[/mm] N = 0, aber was folgt dann daraus?
Der Widerspruch war, dass nicht beide Mengen [mm] $M\backslash [/mm] mM$ und [mm] $N\backslash [/mm] mN$ nichtleer sein koennen; also muss $M= mM$ oder $N= mN$ sein.
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> Wäre nett, wenn du mir da noch ein bisschen weiterhelfen
> könntest.
>
> Viele Grüße
>
> Anfänger
Ich hoffe, jetzt ist es etwas klarer geworden.
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Hallo,
danke, dass du dir nochmal die Mühe gemacht hast, mir das ganze zu erklären. Jetzt verstehe ich die Vorgehensweise.
Viele Grüße
Anfänger
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