Terassenpunkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 So 13.12.2009 | | Autor: | huihu |
Hallo leute,
woran genau erkennt man einen Terassenpunkt und was ist das eigentlich genau?
Danke für eure Hilfe
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Hallo huihu,
ein "Terassenpunkt", auch "Sattelpunkt" genannt, ist ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion, bei welchem die Funktion die Steigung 0 annimmt, aber trotzdem kein Extremum hat.
Es handelt sich also um einen Wendepunkt mit Steigung 0. Du kannst ihn erkennen, wenn bei einer Funktion f gilt:
$f'(x) = 0$
$f''(x) = 0$
[mm] $f'''(x)\not= [/mm] 0$
Zum Beispiel hat die Funktion $f(x) = [mm] x^{3}$ [/mm] an der Stelle $x = 0$ einen Sattelpunkt vorliegen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 So 13.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo huihu,
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> ein "Terassenpunkt", auch "Sattelpunkt" genannt, ist ein
> Punkt auf dem Graphen einer Funktion, bei welchem die
> Funktion die Steigung 0 annimmt, aber trotzdem kein
> Extremum hat.
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> Es handelt sich also um einen Wendepunkt mit Steigung 0. Du
> kannst ihn erkennen, wenn bei einer Funktion f gilt:
>
> [mm]f'(x) = 0[/mm]
> [mm]f''(x) = 0[/mm]
> [mm]f'''(x)\not= 0[/mm]
Hallo, das stimmt zwar, deckt aber nicht alle möglichen Fälle ab.
[mm] y=x^5 [/mm] hat auch einen Terrassenpunkt, aber auch die dritte Ableitung ist dort Null.
Ein umfassenderes Kriterium ist:
[mm]f'(x) = 0[/mm]
[mm]f''(x) = 0[/mm]
UND f''(x) hat an der Stelle x keinen Vorzeichenwechsel (ist also in einer Umgebung von x streng monoton).
Gruß Abakus
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> Zum Beispiel hat die Funktion [mm]f(x) = x^{3}[/mm] an der Stelle [mm]x = 0[/mm]
> einen Sattelpunkt vorliegen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo abakus,
> > [mm]f'(x) = 0[/mm]
> > [mm]f''(x) = 0[/mm]
> > [mm]f'''(x)\not= 0[/mm]
>
> Hallo, das stimmt zwar, deckt aber nicht alle möglichen
> Fälle ab.
Ja, das stimmt. Ich muss zugeben, dass ich das auch in vollstem Bewusstsein dessen so geschrieben habe, weil man in der Schule meist die höheren Ableitungen nicht braucht.
> [mm]y=x^5[/mm] hat auch einen Terrassenpunkt, aber auch die dritte
> Ableitung ist dort Null.
> Ein umfassenderes Kriterium ist:
> [mm]f'(x) = 0[/mm]
> [mm]f''(x) = 0[/mm]
> UND f''(x) hat an der Stelle x
> keinen Vorzeichenwechsel (ist also in einer Umgebung von x
> streng monoton).
Bist du dir sicher, dass das so stimmt?
$f(x) = [mm] x^{3} \Rightarrow [/mm] f''(x) = 6*x$ ist zwar streng monoton, hat aber einen Vorzeichenwechsel bei x = 0, oder verstehen wir uns da falsch? 
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 So 13.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
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> > > [mm]f'(x) = 0[/mm]
> > > [mm]f''(x) = 0[/mm]
> > > [mm]f'''(x)\not= 0[/mm]
> >
> > Hallo, das stimmt zwar, deckt aber nicht alle möglichen
> > Fälle ab.
>
> Ja, das stimmt. Ich muss zugeben, dass ich das auch in
> vollstem Bewusstsein dessen so geschrieben habe, weil man
> in der Schule meist die höheren Ableitungen nicht
> braucht.
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> > [mm]y=x^5[/mm] hat auch einen Terrassenpunkt, aber auch die dritte
> > Ableitung ist dort Null.
> > Ein umfassenderes Kriterium ist:
> > [mm]f'(x) = 0[/mm]
> > [mm]f''(x) = 0[/mm]
> > UND f''(x) hat an der
> Stelle x
> > keinen Vorzeichenwechsel (ist also in einer Umgebung von x
> > streng monoton).
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> Bist du dir sicher, dass das so stimmt?
>
> [mm]f(x) = x^{3} \Rightarrow f''(x) = 6*x[/mm] ist zwar streng
> monoton, hat aber einen Vorzeichenwechsel bei x = 0, oder
> verstehen wir uns da falsch?
Du hast recht, ich habe einen Strich zu viel gesetzt. Nicht f'', sondern f' hat keinen Vorzeichenwechsel.
Gruß Abakus
>
> Grüße,
> Stefan
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