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Hallo,
ich kann den folgenden Rechenschritt nicht nachvollziehen:
wir haben zwei Gleichungen:
[mm] G_{1}cos \alpha_{1}=G_{2}cos \alpha_{2}
[/mm]
[mm] G_{1}sin \alpha_{1}-G_{3}=-G_{2}sin \alpha_{2}
[/mm]
Nun quadrieren und addieren (diesen Schritt kann ich nicht erkennen und nachvollziehen!)
liefert:
sin [mm] \alpha_{1}= \bruch{G_{3}^{2}+G_{1}^{2}-G_{2}^{2}}{2G_{1}G_{3}}
[/mm]
Analog erhält man:
sin [mm] \alpha_{2}= \bruch{G_{3}^{2}+G_{2}^{2}-G_{1}^{2}}{2G_{2}G_{3}}
[/mm]
Wie kommt man denn darauf? Das ist eine Aufgabe aus der TM, ich will nicht sagen, wie lange ich schon daran sitze :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mi 24.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
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> ich kann den folgenden Rechenschritt nicht nachvollziehen:
>
> wir haben zwei Gleichungen:
>
> [mm]G_{1}cos \alpha_{1}=G_{2}cos \alpha_{2}[/mm]
>
> [mm]G_{1}sin \alpha_{1}-G_{3}=-G_{2}sin \alpha_{2}[/mm]
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> Nun quadrieren und addieren (diesen Schritt kann ich nicht
> erkennen und nachvollziehen!)
Wenn du die Gleichungen quadrierst, wird aus:
[mm] $G_{1}\cos(\alpha_{1})=G_{2}\cos(\alpha_{2})$
[/mm]
die Gleichung
[mm] $G_{1}^{2}\cos^{2}(\alpha_{1})=G_{2}^{2}\cos^{2}(\alpha_{2})$
[/mm]
und aus:
[mm] $G_{1}\sin(\alpha_{1})-G_{3}=-G_{2}\sin(\alpha_{2})$
[/mm]
die Gleichung
[mm] $(G_{1}\sin(\alpha_{1})-G_{3})^{2}=G_{2}^{2}\sin(\alpha_{2})$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow G_{1}^{2}\sin^{2}(\alpha_{1})-2G_{1}G_{3}\sin(\alpha_{1})+G_{3}^{2}=G_{2}^{2}\sin(\alpha_{2})$
[/mm]
Wenn du nun die beiden Gleichungen addierst, bekommst du folgende Gleichung
[mm] G_{1}^{2}\sin^{2}(\alpha_{1})+G_{1}^{2}\cos^{2}(\alpha_{1})-2G_{1}G_{3}\sin(\alpha_{1})+G_{3}^{2}=G_{2}^{2}\sin(\alpha_{2})+G_{2}^{2}\cos^{2}(\alpha_{2})
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow G_{1}^{2}(\sin^{2}(\alpha_{1})+\cos^{2}(\alpha_{1}))-2G_{1}G_{3}\sin(\alpha_{1})+G_{3}^{2}=G_{2}^{2}(\sin(\alpha_{2})+\cos^{2}(\alpha_{2}))
[/mm]
Bedenke nun, dass der trigonometische Pythagoras sin²(x)+cos²(x)=1 gilt. Damit sollte sich die Gleichung vereinfachen, und du solltest auf die Lösung kommen.
>
> liefert:
>
> sin [mm]\alpha_{1}= \bruch{G_{3}^{2}+G_{1}^{2}-G_{2}^{2}}{2G_{1}G_{3}}[/mm]
>
> Analog erhält man:
>
> sin [mm]\alpha_{2}= \bruch{G_{3}^{2}+G_{2}^{2}-G_{1}^{2}}{2G_{2}G_{3}}[/mm]
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> Wie kommt man denn darauf? Das ist eine Aufgabe aus der TM,
> ich will nicht sagen, wie lange ich schon daran sitze :(
>
>
Marius
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Welchen Zweck hat das Quadrieren? Wegen dem Trig. Pythagoras? Und einfach so zwei unterschiedliche Gleichungen addieren darf ich auch? Auf mich wirkt das zunächst noch willkürlich, ich wäre da niemals drauf gekommen. Zum Glück hab ich mir nach 2 Stunden die Lösung angeschaut.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Do 25.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welchen Zweck hat das Quadrieren? Wegen dem Trig.
> Pythagoras?
ja, man versucht somit, den "reinzuschmuggeln". Was man hier bedenken
sollte, ist, dass man damit i.a. nur notwendige Bedingungen erhält.
> Und einfach so zwei unterschiedliche
> Gleichungen addieren darf ich auch?
Warum nicht? Wenn Du zwei Waagen [mm] $W_1$ [/mm] bzw. [mm] $W_2$ [/mm] hast:
Auf der linken Seite [mm] $L_1$ [/mm] von [mm] $W_1$ [/mm] liege das gleiche Gewicht wie
auf der Rechten Seite [mm] $R_1$ [/mm] - d.h. [mm] $W_1$ [/mm] ist also im Gleichgewicht
und
auf der linken Seite [mm] $L_2$ [/mm] von [mm] $W_2$ [/mm] liege das gleiche Gewicht wie
auf der Rechten Seite [mm] $R_2$ [/mm] - d.h. [mm] $W_2$ [/mm] ist also auch im Gleichgewicht
dann bleibt doch etwa die zweite im Gleichgewicht, wenn man das Gewicht,
dass auf [mm] $L_1$ [/mm] liegt, nach [mm] $L_2$ [/mm] transportiert und das Gewicht von [mm] $R_1$
[/mm]
auch auf [mm] $R_2$ [/mm] legt.
Anders gesagt:
Aus [mm] $a=b\,$ [/mm] und $c=d$ folgt [mm] $a+c=b+d\,.$ [/mm] Das siehst Du auch, wenn Du
nacheinander alles einsetzt:
Gelte
1.) [mm] $a=b\,$ [/mm]
und
2.) [mm] $c=d\,$
[/mm]
Dann gilt [mm] $a+c\stackrel{1.)}{=}b+c\stackrel{2.)}{=}b+d\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Do 25.10.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Das klingt sehr plausibel. Ich danke vielmals!
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Do 25.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Welchen Zweck hat das Quadrieren? Wegen dem Trig.
> Pythagoras?
Genau darum geht es.
> Und einfach so zwei unterschiedliche Gleichungen addieren
> darf ich auch? Auf mich wirkt das zunächst noch willkürlich,
> ich wäre da niemals drauf gekommen.
Auf dem Addieren/Subtrahieren zweier Gleichungen basiert der sicherlich bekannte Gauß-Algorithmus zum lösen von linearen Gleichungssystemen.
> Zum Glück hab ich mir nach 2 Stunden die Lösung
> angeschaut.
Marius
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