Testkonstruktion m/o Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Jens.St |
Hallo,
ich bin grade dabei eine Übungsklausur (Mathematik für Ingenieure) zu rechnen. Allerdings hake ich bei folgender Aufgabe:
Der Schadstoffgehalt eines Produktes soll unter 25mg/l lhiegen. Messungen haben die Werte 30mg/l, 40mg/l, 20mg/l, 20mg/l und 40mg/l ergeben. Wir gehen davon aus, dass die gemessenen Schadstoffwerte unabhängig voneinander und normalverteilt mit Mittelwert mu sind. Skizzieren Sie allgemein (also mit N Messergebnissen x1, ..., xN) wie man einen Test zum Niveau [mm] $\alpha$ [/mm] = 0, 1 für die Hypothese [mm] $\mu$ [/mm] <= 25mg/l konstruiert,
a) falls Sie wissen, dass die Varianz [mm] $\sigma^2 [/mm] = 10$ ist.
b) falls Sie keine Kenntnis über die Varianz haben.
Wenden Sie beide Verfahren auf die obigen Messwerte an.
Das Konkrete Problem bei dieser Aufgabe habe ich damit das Quantil $q_alpha$ zu bestimmen (Um entscheiden zu können ob die Hypthese zu verwerfen ist oder nicht):
[mm] $c_{\alpha} [/mm] = [mm] \vartheta_0 [/mm] + [mm] \frac{\sqrt(\sigma_0^2)}{\sqrt(n)}q_\alpha$
[/mm]
Schonmal vielen Dank für jeden Denkanstoß! Wünsche noch ein schönes Wochende!
Gruß Jens
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Tex - Funktion in diesem Forum ist echt cool!!!
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Du testest einseitig, dass heißt [mm] \latex H_0: \mu \le \latex [/mm] 25mg/l gegen [mm] \latex H_1: \mu [/mm] > [mm] \latex [/mm] 25mg/l .
Bei a) ist die Varianz bekannt, daher verwendet man den Gauss-Test, bzw. berechnet mit der Normalverteilung die Quantile. [mm] \latex q_{\alpha} \latex [/mm] ist bei dir [mm] \latex q_{\alpha} =\Phi^{-1}(1-\alpha)=\Phi^{-1}(0.9)=1.28 \latex.
[/mm]
Bei b) ist die Varianz unbekannt, daher wird sie aus der Stichprobe geschätzt (Mittelwert). Anschließend verwendest du den t-Test, bzw. berechnest das Quantil mit der t-Verteilung (n-1=5-1 Freiheitsgrade, da du 5 Werte gegeben hast). Mit einer Formelsammlung erhälst du [mm] \latex q_{\alpha} =t^{-1}_{n=4}(0.9)=1.533 \latex
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Lies am Besten nochmal unter t-Test und Gauß-Test nach, die beiden Tests verwendet man bei normalverteilten Daten und unbekannter bzw. bekannter Varianz.
Viel Erfolg!
KeinEinstein
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