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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Sa 04.10.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es seinen [mm] X_1,...,X_4 [/mm] unabhängige Bernoulli-verteilte ZV mit unbekanntem aber gleichen Parameter [mm] \theta \in [/mm] [0;1/2]. Die Hypothese [mm] \theta [/mm] = 1/2 soll gegen die Alternative [mm] \theta [/mm] < 1/2 getestet werden. Als Verwerfungsbereich verwende man { [mm] \summe_{i=1}^{4} X_i \le [/mm] 1 }.
a) Berechne die Wkt für einen Fehler 1.Art.
b) Bestimme die Macht des Tests in [mm] \theta [/mm] =1/5 |
Fehler 1. Art: Die Hypothese wird verworfen, obwohl sie korrekt ist. Aber wie berechnet man die Wkt. dafür?
[mm] \summe_{i=1}^{4} \vektor{4 \\ i} (0,5)^4 [/mm] So?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 04.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo rollroll,
Fehler 1. Art [mm] ($\alpha$-Fehler) [/mm] bedeutet: [mm] p\in\theta_0, [/mm] aber [mm] x\in K_1 [/mm]
mit [mm] \theta_0=\{\frac{1}{2}\}, \theta_1=[0,\frac{1}{2}[, K_0: [/mm] Annahmebereich, [mm] K_1:=\{\summe_{i=1}^4X_i\le1\} [/mm] ist Verwerfungsbereich, x Realisierung.
Also ist der Fehler 1. Art durch die Wahrscheinlichkeit gegeben, dass zwar die ZV in [mm] K_1 [/mm] sind (Nullhypothese wird verworfen), aber $p$ eigentlich aus dem Parameterraum der Nullhypothese stammt. In Formeln:
[mm] $$sup_{p\in \theta_0}P_p(X\in K_1)=P_\frac{1}{2}(\summe_{i=1}^{4} X_i \le1).$$ [/mm] Man bräuchte das Supremum hier nicht, da [mm] p\in\theta_0=\{\frac{1}{2}\} [/mm] nur einen Wert annehmen kann. Das Supremum "schaut" salopp gesagt hierbei danach, dass man die größte Wahrscheinlichkeit betrachtet.
Du betrachtest jetzt Bernulli-verteilte ZV, bei denen es nur die Versuchsausgänge Erfolg (X=1) und Misserfolg (X=0) gibt. Für [mm] \summe_{i=1}^{4} X_i \le1 [/mm] gibt es also folgende Fälle:
1.) [mm] X_1=1, X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{2,3,4\}
[/mm]
2.) [mm] X_2=1, X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,3,4\}
[/mm]
3.) [mm] X_3=1, X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,4\}
[/mm]
4.) [mm] X_4=1, X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,3\}
[/mm]
5.) Der vergessene Fall  : [mm] X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,3,4\}
[/mm]
Die einzelnen Fälle sind offensichtlich "disjunkt", wenn man es so ausdrücken will. D.h. sie sind nicht gleichzeitig denkbar (daher der Additionsschritt von der 1. zur 2. Zeile im Folgenden).
Also können wir schreiben:
[mm] $$P_\frac{1}{2}(\summe_{i=1}^{4} X_i \le1)=P_{0,5}((X_1=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{2,3,4\})\vee (X_2=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,3,4\})\vee(X_3=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,4\})\vee(X_4=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,3\})\vee( X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,3,4\}))
[/mm]
= [mm] P_{0,5}(X_1=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{2,3,4\})+P_{0,5}(X_2=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,3,4\})+P_{0,5}(X_3=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,4\})+P_{0,5}(X_4=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,3\})+P_{0,5}(X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,3,4\})
[/mm]
[mm] =0,5\cdot(0,5)^3+0,5\cdot(0,5)^3+0,5\cdot(0,5)^3+0,5\cdot(0,5)^3+(0,5)^4
[/mm]
[mm] =5\cdot(0,5)^4=0,3125$$
[/mm]
Der Rechenschritt von der zweiten zur dritten Zeile lässt sich mit der stochastischen Unabhängigkeit der ZV (vgl. Def.) begründen. Man sollte z.B. eigentlich [mm] X_4=1\wedge X_3=0 \wedge X_2=0 \wedge X_1=0 [/mm] statt [mm] X_4=1\wedge X_i=0 \mbox{ }\forall i\in\{1,2,3\} [/mm] schreiben, damit es klarer wird.
EDIT: Einen Fall hatte ich vergessen
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 05.10.2014 | | Autor: | rollroll |
Nochmal eine Frage dazu:
Du kennst doch mit Sicherheit die „Tea Testing Lady“. In diesem Fall haben wir für die Wkt für einen Fehler 1. Art folgendes angegeben:
[mm] P_{0,5} [/mm] ( { [mm] \summe_{i=1}^{n} Y_i \ge n_0} [/mm] ) = [mm] \summe_{k=n_0}^{n}\vektor{n \\ k} 0,5^n
[/mm]
In unserem Fall wäre ja [mm] n_0 [/mm] =1 und n=4
Der Unterschied liegt ja nur darin, dass der Verwerfungsbereich hier ein anderer ist nämlich: [mm] P_{0,5} [/mm] ( { [mm] \summe_{i=1}^{n} Y_i \le n_0} [/mm] )
Könnte ich jetzt hier nicht über das Gegenereignis gehen und dann analog zu oben vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hi rollroll,
wenn du mit $i=2$ startest und über das Gegenereignis gehst ist es sogar richtig.
Beachte, dass sich beim Gegenereignis das [mm] \ge [/mm] zum $<$ ändert, nicht zum [mm] \le.
[/mm]
Bzw. du versuchst es mit
[mm] $$\summe_{i=0}^1\vektor{4\\i}\cdot 0,5^4$$
[/mm]
Das kannst du dir sogar anschaulich erklären.
MfG
Ladon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Sa 04.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Zu b):
vgl.: ![[]](/images/popup.gif) Teststärke (Macht) und Definition des [mm] $\beta$-Fehlers:
[/mm]
Der $ [mm] \beta [/mm] $ -Fehler wird über die Wahrscheinlichkeit $ [mm] sup_{p\in \theta_1}P_p(X\in K_0) [/mm] $ berechnet mit p aus der Alterative und [mm] K_0 [/mm] Annahmebereich. Das entspricht gerade der Wahrscheinlichkeit, dass $ [mm] H_0 [/mm] $ zwar angenommen wird (wegen Annahmebereich), aber p eigentlich aus der Alternative stammt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 06.10.2014 | | Autor: | rollroll |
zu b)
[mm] P_{0,2} [/mm] ( { [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] > 1 } )= 1- [mm] P_{0,2} [/mm] ( { [mm] \summe_{i=1}^{n} \le [/mm] 1 } = 1- [mm] \summe_{k=0}^{1} \vektor{1 \\ k} 0,2^k [/mm] * [mm] 0,8^{1-k}.
[/mm]
Allerdings erhalte ich dann 0...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mo 06.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> Allerdings erhalte ich dann 0...
Gesucht ist die Wsk einer Ablehnung der Nullhypothese, wenn [mm] $\theta=1/5$ [/mm] ist, wenn die Nullhypothese also falsch ist. Hier soll eine moeglichst grosse Zahl herauskommen, daher der Begriff "Macht".
Mit $ [mm] P_{0,2} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] > 1 )$ berechnest du aber die Wsk einer *Annahme*.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 06.10.2014 | | Autor: | rollroll |
Wie würde ich dann hier entsprechend vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mo 06.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> Wie würde ich dann hier entsprechend vorgehen?
Bestimme $ [mm] P_{0,2} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n}X_i \le [/mm] 1 ) $.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 06.10.2014 | | Autor: | rollroll |
[mm] P_{0,2} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n}X_i \le [/mm] 1 ) = 1- [mm] P_{0,2} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] >1 ) = 1- [mm] \summe_{k=2}^{4} \vektor{4 \\ k}*0,2^k*0,8^{4-k}
[/mm]
So? Das wäre ja dann dieselbe Vorgehensweise wie beim Fehler 1. Art (vgl. a))
Entspricht die Macht des Tests der Wkt für einen Fehler 2. Art?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mo 06.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm]P_{0,2}[/mm] ( [mm]\summe_{i=1}^{n}X_i \le[/mm] 1 ) = 1- [mm]P_{0,2}[/mm] (
> [mm]\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm] >1 ) = 1- [mm]\summe_{k=2}^{4} \vektor{4 \\ k}*0,2^k*0,8^{4-k}[/mm]
>
> So? Das wäre ja dann dieselbe Vorgehensweise wie beim
> Fehler 1. Art (vgl. a))
Ja,
> Entspricht die Macht des Tests der Wkt für einen Fehler
> 2. Art?
Nein, Macht= 1- P(Fehler 2. Art) fuer [mm] $\theta [/mm] <1/2$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 06.10.2014 | | Autor: | rollroll |
Dankeschön!
Ich erhalte dann für die Macht des Tests 0,8192
Entsprechend für den Fehler 2. Art:
0,1808
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 06.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> Dankeschön!
> Ich erhalte dann für die Macht des Tests 0,8192
>
> Entsprechend für den Fehler 2. Art:
> 0,1808
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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