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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Di 16.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Die Eckpunkte A(1/1/0),B(1/-1/2),C(-1/-1/0) und D(-1/1/2) bilden einen räumlichen Körper.Zeichnen Sie die Punkte in ein Koordinatensystem.
a) Zeigen Sie,dass dieser Körper ein regelmäßiges Tetraeder ist. |
Hallo^^
Ich hab mir die Punkte mal aufgezeichnet und wollte die a) machen.
Ich war jetzt am Überlegen,ob es reicht zu zeigen dass die 3 Kanten gleich lang sind oder ob ich sonst noch etwas mit Winkeln oder Flächeninhalt zeigen muss.
Also ich hätte nur die Länge der Kanten nachgewiesen,schickt das?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
Schritt 1:
sicherlich findet man in einer Ebene nie vier Punkte, die paarweise den gleichen Abstand zueinander haben. (soll heißen: jeder Punkt hat zu jedem anderen Punkt denselben Abstand) Das kann man sich an einer Skizze veranschaulichen.
Folgerung:
haben die vier Punkte paarweise denselben Abstand, so liegen genau drei in einer Ebene. Deswegen können die vier Punkte zusammen nur einen Tetraeder formen,
der wegen der gleichen Abstände gleichseitig sein muss.
So ähnlich hast Du Dir das wahrscheinlich auch überlegt. das ist auch richtig. die Frage ist, wie formal Dein Beweis sein muss. Genügt es, Schritt 1 aus einer Skizze zu folgern, oder muss man die dort formulierte Aussage rechnerisch nachweisen?
ich hoffe,das hilft weiter
viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
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> Schritt 1:
> sicherlich findet man in einer Ebene nie vier Punkte, die
> paarweise den gleichen Abstand zueinander haben. (soll
> heißen: jeder Punkt hat zu jedem anderen Punkt denselben
> Abstand) Das kann man sich an einer Skizze
> veranschaulichen.
>
> Folgerung:
> haben die vier Punkte paarweise denselben Abstand, so
> liegen genau drei in einer Ebene. Deswegen können die vier
> Punkte zusammen nur einen Tetraeder formen,
> der wegen der gleichen Abstände gleichseitig sein muss.
>
> So ähnlich hast Du Dir das wahrscheinlich auch überlegt.
> das ist auch richtig. die Frage ist, wie formal Dein Beweis
> sein muss. Genügt es, Schritt 1 aus einer Skizze zu
> folgern, oder muss man die dort formulierte Aussage
> rechnerisch nachweisen?
Ich denke,das kann man aus der Aufgabenstellunf folgern,denn da steht schon,dass es ein räumlicher Körper ist.Daher muss man glaube ich nicht zeigen,dass in einer Ebene vier Punkte selten den gleichen Abstand haben,obwohl ich nicht verstehe warum das so ist?
Ich hab jetzt einfach die Längen der 6 Kanten ausgrechnet und gezeigt,dass A,B und C in einer Ebene liegen und D außerhalb dieser Ebene liegt.Ist das so in Ordnung?
lg
> ich hoffe,das hilft weiter
> viele Grüße, Andreas
>
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Hallo Mandy90,
Du hast recht, die Aufgabe sagt bereits, dass ein räumlicher Körper vorliegt.
Deswegen reicht es, zu zeigen, dass alle Kanten gleich lang sind.
zu der Frage, warum vier Punkte nicht paarweise denselben Abstand haben, wenn sie in einer Ebene liegen:
Drei der vier Punkte bilden ein gleichseitiges Dreieck. Liegt der vierte Punkt außerhalb dieses Dreiecks, dann kann er nicht zu allen anderen Punkten denselben Abstand haben.(Skizze hilft). Liegt er innerhalb oder auf einer Kante des Dreiecks, dann hat er zu den drei Punkten einen geringeren Abstand als diese zueinander.
viele Grüße, andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Di 16.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Die Eckpunkte A(1/1/0),B(1/-1/2),C(-1/-1/0) und D(-1/1/2)
> bilden einen räumlichen Körper.Zeichnen Sie die Punkte in
> ein Koordinatensystem.
>
> a) Zeigen Sie,dass dieser Körper ein regelmäßiges
> Tetraeder ist.
> Hallo^^
>
> Ich hab mir die Punkte mal aufgezeichnet und wollte die a)
> machen.
> Ich war jetzt am Überlegen,ob es reicht zu zeigen dass
> die 3 Kanten gleich lang sind oder ob ich sonst noch etwas
> mit Winkeln oder Flächeninhalt zeigen muss.
Hallo,
so ein Tetraeder hat 6 Kanten...
Gruß Abakus
> Also ich hätte nur die Länge der Kanten
> nachgewiesen,schickt das?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Die Eckpunkte A(1/1/0),B(1/-1/2),C(-1/-1/0) und D(-1/1/2)
> > bilden einen räumlichen Körper.Zeichnen Sie die Punkte in
> > ein Koordinatensystem.
> >
> > a) Zeigen Sie,dass dieser Körper ein regelmäßiges
> > Tetraeder ist.
> > Hallo^^
> >
> > Ich hab mir die Punkte mal aufgezeichnet und wollte die a)
> > machen.
> > Ich war jetzt am Überlegen,ob es reicht zu zeigen dass
> > die 3 Kanten gleich lang sind oder ob ich sonst noch etwas
> > mit Winkeln oder Flächeninhalt zeigen muss.
> Hallo,
> so ein Tetraeder hat 6 Kanten...
Oh,natürlich.Danke für den Hinweis.
lg
> Gruß Abakus
> > Also ich hätte nur die Länge der Kanten
> > nachgewiesen,schickt das?
> >
> > Vielen Dank
> > lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Symmetrieabbildungen des Tetraeders sind Abbildungen,bei denen die Bilder der vier Eckpunkte wieder vier Eckpunkte des Tetraeders sind, z.B. eine Abbildung,bei der die Punkte A und C fest bleiben und die Punkte B und D vertauscht werden.Geben Sie alle Symmetrieabbildungen des Tetraeders an,die gleichzeitig lineare Abbildungen sind.Beschreiben Sie die Abbildungen anschaulich und geben Sie die zugehörigen Matrizen an. |
Hallo^^
Ich hab mal versucht die b) zu machen,bin da aber nicht weit gekommen.
Die Symmetrieabbildungen hab ich mir aber aufgeschrieben:
A,C fest
A,B fest
A,D fest
B,C fest
B,D fest
C,D fest
und die anderen zwei Punkte werden jeweils vertauscht.
So,da steht aber,dass ich alle Symmetrieabbildungen angeben soll,die gleichzeitig lineare Abbildungen sind.Ich wusste jetzt nicht genau wie ich das machen soll.Die Linearitätseigenschaften sind ja :
[mm] L1:a(\vec{x}+\vec{y})=a(\vec{x})+a(\vec{y}) [/mm] und
[mm] L2:a(r\cdot{}\vec{x})=r\cdot{}a(\vec{x})
[/mm]
Ich finde jetzt keinen richtigen Ansatz,wie ich die linearen Symmetrieabbildungen bestimmen soll.Muss ich mir jetzt einfach 2 Punkte, z.B. A und C nehmen und die Linearitätseigenschaften zeigen oder wie?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mi 17.02.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Symmetrieabbildungen des Tetraeders sind Abbildungen,bei
> denen die Bilder der vier Eckpunkte wieder vier Eckpunkte
> des Tetraeders sind, z.B. eine Abbildung,bei der die Punkte
> A und C fest bleiben und die Punkte B und D vertauscht
> werden.Geben Sie alle Symmetrieabbildungen des Tetraeders
> an,die gleichzeitig lineare Abbildungen sind.Beschreiben
> Sie die Abbildungen anschaulich und geben Sie die
> zugehörigen Matrizen an.
> Ich hab mal versucht die b) zu machen,bin da aber nicht
> weit gekommen.
> Die Symmetrieabbildungen hab ich mir aber aufgeschrieben:
>
> A,C fest
> A,B fest
> A,D fest
> B,C fest
> B,D fest
> C,D fest
>
> und die anderen zwei Punkte werden jeweils vertauscht.
Das sind leider längst nicht alle! Es gibt auch welche, bei denen kein Punkt fest bleibt, welche, bei denen genau ein Punkt fest bleibt, keine, bei der genau 3 Punkte fest bleiben (Warum?) und dann noch eine, bei der alle 4 Punkte fest bleiben.
Versuch doch mal, die anschaulich zu beschreiben, bau dir notfalls ein Modell.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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