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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
| Aufgabe | | Löse folgende Aufgabe: |
Hey!
Ich muss die Aufgabe unbedingt für morgen haben, hab aber keine Ahnung wie ich sie lösen soll Kann mir einer von euch da helfen? Wär echt wahnsinnig liebbbb! Danke :-*
Für jedes t größergleich 0 ist eine Funktion f1 gegeben durch f1(x)=x³+ tx²+1
a) Für welchen Wert t0 geht die Wendetangente an den Graphen der zugehörigen Funktion durch den Ursprung?
b) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion für t= t0 auf Hoch-Tief und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen einschließlich der Wendetangente für -3,5 kleinergleich x kleinergleich 1.
HILLE???!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Löse folgende Aufgabe:
> Hey!
Moin!
> Ich muss die Aufgabe unbedingt für morgen haben, hab aber
> keine Ahnung wie ich sie lösen soll Kann mir einer von
> euch da helfen? Wär echt wahnsinnig liebbbb! Danke :-*
>
> Für jedes t größergleich 0 ist eine Funktion f1 gegeben
> durch f1(x)=x³+ tx²+1
> a) Für welchen Wert t0 geht die Wendetangente an den
> Graphen der zugehörigen Funktion durch den Ursprung?
Welche Eigenschaften hat denn die Wendetangente?
1) Die Tangente geht durch den Wendepunkt - Dieser ist also ein Punkt der Gerade
2) genauer gesagt, berührt die Tangente den Wendepunkt nur, also gilt: die Steigung im Wendepunkt ist die Steigung der Tangente.
Du musst also erst einmal den Wendepunkt ermitteln mit den allgemeinen Koordinaten [mm] W(x_w|y_w). [/mm] Dann setzt du den X-Wert des Wendepunkts in die erste Ableitung ein, um die Steigung herauszubekommen.
Spätestens hier hast du ein Ergebnis der Steigung in Abhängigkeit von t. Das Ergebnis ist unser m
y=mx+b
Nun setzt du den Wendepunkt ein und löst das ganze nach b auf. Du hast nun quasi die fertige Tangentengleichung
y=mx+b // m und b sind bekannt. Allerdings hast du hier noch ein Ausdruck mit einem t oder auch [mm] t_0 [/mm] genannt. Daher ist die nächste Bedingung, dass die Tangente durch den Punkt O(0|0) gehen muss und du kannst das [mm] t_0 [/mm] ermitteln.
Präsentier doch einfach mal deine Rechnung.
> b) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion für t= t0 auf
> Hoch-Tief und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen
> einschließlich der Wendetangente für -3,5 kleinergleich x
> kleinergleich 1.
Wenn du das t bzw. [mm] t_0 [/mm] hast, sollte die Aufgabe für dich gar kein Problem mehr sein.
> HILLE???!!!!
L G
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
hey:) danke für deine hilfe...okay ich veruschs mal!
notwendige Bedingung für Wendepunkt: f´´(x)=0
f1(x)= x³+x²+1
f'(x)= 3x²+2
f´´(x)= 6x= 0
x= 0
Hinreichende Bedingung: f´´(x)= 0 oder f´´´(x) ungleich 0
f´´´(x)= 6
f´´´(0)= 6
W (0/1) -> für den Wert 1 hab ich die 0 in die Ursprungsfunktion eingesetzt!
m= 2
1= 2*0+b
1= 2+b/ -2
-1= b
so:( ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hi.
> ....
> hey:) danke für deine hilfe...okay ich veruschs mal!
> notwendige Bedingung für Wendepunkt: f´´(x)=0
> f1(x)= x³+x²+1
Sollte die Funktion nicht: x³+ tx²+1 heissen? f1 ist nur eine Bezeichnung, hat nichts zu tun mit [mm] f_1. [/mm] Du darfst also für t nicht eins einsetzen.
> f'(x)= 3x²+2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
f'(x) = [mm] 3x^2+2x
[/mm]
Du hast da leider einen Flüchtigkeitsfehler.
> f´´(x)= 6x= 0
> x= 0
Die Ableitungen lauten:
[mm] $f1(x)=x^3+ tx^2+1$
[/mm]
[mm] $f1'(x)=3x^2+ [/mm] 2tx$
$f1''(x)=6x+ 2t$
$f1'''(x)=6$
> Hinreichende Bedingung: f´´(x)= 0 oder f´´´(x) ungleich 0
Die Bedingung stimmt, nur muss das 'oder' => 'und' heißen.
> f´´´(x)= 6
> f´´´(0)= 6
> W (0/1) -> für den Wert 1 hab ich die 0 in die
> Ursprungsfunktion eingesetzt!
>
> m= 2
> 1= 2*0+b
> 1= 2+b/ -2
> -1= b
>
> so:( ?
Skeptisch hättest du werden sollen, als hier kein t enthalten war.
MfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
ja shit:( hast recht... dann ist x= -1/3 oder?
Also W(-1/3/ 0)
und m= 29/27 ?
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
f(x)=x³+tx²+1
f'(x)=3x²+2tx
f''(x)=6x+2t
f'''(x)=6
Der Wendepunkt liegt demnach bei x=- [mm] \bruch{1}{3}t. [/mm]
Du könntest damit den y-Wert des Wendepunktes ausrechnen und damit dann die Steigung der Gerade ermitteln... ich hoffe so ist das richtig :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
ja der y wert ist dann 1 oder ?
also (-1/3/ 1 ) ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mi 31.05.2006 | | Autor: | piet.t |
...und was ist mit t?? (frei nach der Werbung....![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") )
Spaß beiseite: Ziel der Aufgabe ist es doch, den Wert von t zu bestimmen. Also musst Du das t bis zum Ende von a) immer mit in die Rechnung einbeziehen.
Teufel hat ja mit [mm] -\bruch{1}{3}t [/mm] ja schon die richtige x-Koordinate für den Wendepunkt raus, bei Dir ist dann wieder das t verloren gegangen.
Für die x-Koordinate musst Du das dann in die Funktionsgleichung von f einsetzen, nicht etwa in die von f''.
Versuchs doch erst mal so weit - was da rauskommt hat übrigens auch wieder ein t drin.....
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
alsookay...
meine Wendestelle ist bei x= -1/3* t
Dann muss ich die Steigung im Wendepunkt berechnen:
f'(-1/3*t )= 3* (-1/3* t)²+ 2t * (-1/3*t)= 1/3t²- 2/3t²= -1/3* t²
t(x)= mx*b
m= f'(-1/3t)= -1/3* t²
t(x)= -1/3* x +b
t(x)= -1/3*x + 1/3² ?!?!?!?!?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
ach ich weiß nicht mehr weiter:( > t(x)= -1/3* x +b ...ich weiß nicht wo da das t noch hin soll:( hilf mir..:(
okay den y wert hab ich bestimmt! nur die -1/3 in die ursprungsfunktion einsetzen oder? also der y-wert lautet dann: 29/ 27 t
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mi 31.05.2006 | | Autor: | piet.t |
...keine Panik!
> ...
> ach ich weiß nicht mehr weiter:( > t(x)= -1/3* x +b
> ...ich weiß nicht wo da das t noch hin soll:( hilf mir..:(
Du hattest doch schon t(x) = m*x + b und [mm] m=-1/3*t^2.
[/mm]
Jetzt schreibst Du einfach in der ersten Gleichung für m das hin, was Du im anderen Ausdruck ausgerechnet hattest - und zwar komplett(!):
t(x) = [mm] -1/3*t^2*m+b
[/mm]
> okay den y wert hab ich bestimmt! nur die -1/3 in die
> ursprungsfunktion einsetzen oder? also der y-wert lautet
> dann: 29/ 27 t
...der x-Wert war aber -1/3 t. :-(
Und dann darf man natürlich Summanden mit und ohne t nicht so einfach zusammenfassen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
danke :-*
ist dein mein y-wert: x³+ (-1/3t)²+ 1 ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mi 31.05.2006 | | Autor: | piet.t |
> ...
> danke :-*
>
> ist dein mein y-wert: x³+ (-1/3t)²+ 1 ?!
Für das x bei [mm] x^3 [/mm] musst du natürlich auch noch -1/3t einsetzen. Und dann hast Du noch das t von ...+ t [mm] x^2 [/mm] +... vergessen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe käme ich dann also auf
[mm]f(-\bruch{1}{3}t) = (-\bruch{1}{3}t)^3 + t(-\bruch{1}{3}t)^2 + 1 =
-\bruch{1}{27}t^3 + \bruch{1}{9}t^3 + 1 =
\bruch{2}{27}t^3 + 1[/mm]
Jetzt können wir wieder zur Wendetangente [mm]y=-\bruch{1}{3}t^3*x+b[/mm] zurück. Über die wissen wir zwei Dinge:
1. Sie geht durch den Ursprung. Das heißt aber, dass b=0 sein muss (b ist ja der y-Abschnitt der Geradengleichung), also belibt noch [mm]y=-\bruch{1}{3}t^3*x[/mm]
2. Der Wendepunkt liegt auf der Tangente. Jetzt müssen wir also die x- und y-Koordinate des Wendepunkts in die Tangentengleichung aus 1. einsetzten. Dann haben wir eine Gleichung, in der nur noch t vorkommt, und die muss man nach t auflösen. Fertig!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
also ist mein y- wert 223t³ ?! :) weil da noch irgendwas von bruch stand....puh mein armes köpfchen...okay ich versuchs mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 31.05.2006 | | Autor: | piet.t |
...Sorry, einmal wenn man sich die Vorschau nicht genau anschaut.....:-(
Ich habs mal ausgebessert!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
ist meine wendetangente
y= -1/3t² + x ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mi 31.05.2006 | | Autor: | piet.t |
> ....
> ist meine wendetangente
> y= -1/3t² + x ?!
...*x
Aber es ist schon fast geschafft - da jetzt noch für x und y die Koordinaten des Wendepunktes einsetzen und nach t auflösen.
....und sich den ganzen Mammut-Thread vielleicht in ein paar Tagen nochmal in aller Ruhe zu Gemüte führen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
---Sorry, fällt weg.---
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Wenn du die x- und y-Koordinate des Wendepunktes (die beide noch ein t enthalten) in y=- [mm] \bruch{1}{3}t³x [/mm] einsetzt erhälst du für t (wenn ich mich nicht verrechnet habe) - [mm] \bruch{3\*2^{2/3}}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
HILFEEEEEEEEEEEEEEEEE! ihr verwirrt mich voll...sind die koordinaten des wendepunktes jetzt falsch oder wie:( ich sollte doch jetzt in y= -1/3t³+x die x und y Korrdinate einsetzen und dann nach t auflösen.... ?! oder:( ???!!!!
aso W (-1/3*t/ 227t³) ? oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja, der Wendepunkt liegt bei W(- [mm] \bruch{1}{3}| \bruch{2t³}{27}+1). [/mm] Vielleicht hast du dich nur verrechnet.
Und die geradengleichung ist nicht y=- [mm] \bruch{1}{3}t+x [/mm] sondern
y=- [mm] \bruch{1}{3}t\*x [/mm] :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 31.05.2006 | | Autor: | jane882 |
mh okay... also dann
2t³/ 27 +1 = -1/3t * (-1/3* t)
2t³/ 27 + 1= 1/9t- 1/3t²
so..:( und weiter:( ich kann nicht gut auflösen:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mi 31.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Naja, ich habe mal zuende gerechnet und komme irgendwie nicht auf ein gewünschtes Ergebis. Aber wenn du trotzdem erstmal weiterrechnen willst würde ich erst einmal [mm] \*27 [/mm] rechnen um die Brüche zu killen :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
...und da ist jetzt wieder das t verschwunden
