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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:32 Di 25.07.2006 | | Autor: | TAL |
| Aufgabe | Es seien A, B und C drei Gemeinden, deren Position durch die Punkte
A(-3,0), B(1,0), C(0,4)
im kartesischen Koordinatensystem in [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] gegeben sind. Stadt A hat 10000 Einwohner, Stadt B hat 15000 Einwohner und Stadt C hat 25000 Einwohner.
a) Zur Absicherung der Wasserversorgung beschließen die Gemeinderäte, einen gemeinsamen Brunnen zu bohren und diesen mit Wasserleitungen an die Städte anzuschließen. Die Baukosten setzen sich aus einem Festbetrag für den Brunnen sowie einen Betrag für das Pump- und Leitungssystem zusammen. Letzterer ist für jede Stadt proportional zur Einwohnerzahl sowie zum Quadrat des Abstandes zwischen Stadt und Brunnen. Wo muss der Brunnen errichtet werden, damit die Gesamtausgaben aller drei Städte minimal sind?
b) Zwischen den Gemeinden fließt ein Fluß F,
F = { (x,y) [mm] \in \mathbb{R}^2 [/mm] | y = [mm] x^2+1 [/mm] }
Die Wasserversorgung soll nun aus einem am Flußufer gelegenen Wasserwerk abgesichert werden. Die Baukosten für das Wasserwerk sind fest, die Kosten für das Pump- und Leitungssystem berechnen sich wie oben. An welcher Stelle muss das Wasserwerk errichtet werden, damit die Gesamtkosten minimal sind ?
c) Der Grund der drei Gemeinden wird durch einen Kreis mit dem Radius 5 um den Punkt (-1,1) gegeben. Wo wird nach Abschluß der politischen Entscheidungsprozesse in diesem Gebiet der Brunnen bzw. das Wasserwerk tatsächlich gebaut ( d.h. an welchen Standorten werden die Kosten maximal)?
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Hallo,
kann mir jemand sagen wie ich diese aufgabe lösen kann??
MFG TAL
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Di 25.07.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo TAL,
> Es seien A, B und C drei Gemeinden, deren Position durch
> die Punkte
>
> A(-3,0), B(1,0), C(0,4)
>
> im kartesischen Koordinatensystem in [mm]\mathbb{R}^2[/mm] gegeben
> sind. Stadt A hat 10000 Einwohner, Stadt B hat 15000
> Einwohner und Stadt C hat 25000 Einwohner.
>
> a) Zur Absicherung der Wasserversorgung beschließen die
> Gemeinderäte, einen gemeinsamen Brunnen zu bohren und
> diesen mit Wasserleitungen an die Städte anzuschließen. Die
> Baukosten setzen sich aus einem Festbetrag für den Brunnen
> sowie einen Betrag für das Pump- und Leitungssystem
> zusammen. Letzterer ist für jede Stadt proportional zur
> Einwohnerzahl sowie zum Quadrat des Abstandes zwischen
> Stadt und Brunnen. Wo muss der Brunnen errichtet werden,
> damit die Gesamtausgaben aller drei Städte minimal sind?
Eine wirkliche Antwort ist das ja nicht gerade, aber das Ganze erinnert mich doch sehr an eine der vielen Varianten des Steiner-Baum-Problem. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Sieh' dir doch mal ![[]](/images/popup.gif) folgenden Artikel dazu an. Also die Einwohnerzahlen und der Brunnenpreis sind ja fest vorgegeben. Damit scheint der Torricelli-Punkt hier die Lösung zu bringen, oder?
Viele Grüße
Karl
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Also meine Idee für a) wäre:
Kosten je Stadt = c * Einwohnerzahl * (Entfernung zum Brunnen)²,
wobei c eine beliebige Konstante ist.
Die Entfernung der jeweiligen Stadt zum Brunnen ist [mm] sqrt((x - xs)^2 + (y - ys)^2) [/mm], wobei x, y die Koordinaten des Brunnens und xs, ys die Koordinaten der Stadt sind.
Die Summe der Kosten soll minimal sein, also addiere ich die Kosten und erhalte:
[mm] 10x^2 + 6x + 101 + 10y^2 - 40y [/mm]
Wenn ich nun in
[mm] x^2 + 6x/10 + a = 0 [/mm]
und in
[mm] y^2 - 4y + b = 0 [/mm]
die Werte für a und b so wähle, dass die Wurzel 0 ergibt (also a = 9/100 und b = -4), erhalte ich x = -3/10 und y = 2 als Lage für den Brunnen.
Die Gesamtkosten betragen dann 60,1 * c
Martina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Di 25.07.2006 | | Autor: | riwe |
ich erhalte dieselben werte wie martina.
als minimum (extremum) der kostenfunktion
f(x,y)= [mm] 10x^{2}+6x+10y^{2}-40y+101
[/mm]
erhält man eben [mm] P_m(-0.3/2).
[/mm]
bei b) muß noch die nebenbedingung erfüllt werden, woraus
f(x,y)= [mm] 10x^{2}+6x+10y^{2}-40y+101+\lambda(x^{2}-y+1)
[/mm]
mit [mm] P_n(-0.825638/1.681678) [/mm] als lösung der kubischen gleichung folgt.
wenns denn stimmt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Di 25.07.2006 | | Autor: | riwe |
und aufgabe c) mit derselben methode wie b)
so etwas kommt aber im wahren leben bei unseren hochanständigen politikern nicht vor!
das ist meine überzeugung
zur lösung
[mm] f(x,y)=10x^{2}+6x+10y^{2}-40y+101+\lambda ((x+1)^{2}+(y-1)^{2}-25) [/mm] ist zu minimieren.
die quadratische gleichung liefert
Max(-3.8673/-3.096)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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