Textaufgabe zu geom. Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei einer geometrischen Folge [mm] (a_{n}) [/mm] beträgt die Summe der ersten drei Glieder 19,5.
Das dritte Glied ist um 9 größer als das zweite.
Bestimme das Bildungsgesetz der Folge. |
Hmm, Brett vorm Kopf...
ich sehe zwar eine erste Gleichung, nämlich:
[mm] a_{1}+a_{2}+a_{3}=19,5
[/mm]
anders ausgedrückt:
[mm] a_{1}+d*a_{1}+d^2*a_{1}=19,5
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht, wie ich die 2te Aufgabe herauslesen soll bzw. wie ich in diesem Fall das Bildungsgesetz bilden sollte...
Vielen Dank im voraus für die Hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 So 13.12.2009 | | Autor: | dxlegends |
Ginge es evntl. wenn ich [mm] a_{3} [/mm] durch [mm] a_{2} [/mm] ersetze und dafür die 9 beim Ergebnis abziehe?
also dann quasi:
[mm] a_{1}+d*a_{1}+d*a_{1}=10,5
[/mm]
Ich wüsste jetzt zwar gerade nicht, wie mich dies weiterbringt, aber ich wüsste gerne, ob dies eine Möglichkeit wäre :)
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Hallo dxlegends,
auch diese Möglichkeit führt zum Ziel, vielleicht sogar eleganter als die gerade von mir vorgeschlagene (ist aber letztendlich dasselbe). Damit hast du in deine Gleichung
> [mm]a_{1}+d*a_{1}+d*a_{1}=10,5[/mm]
Nun schon den zweiten "Sachverhalt" eingebaut, du hast nun ein Gleichungssystem mit dieser Gleichung und der, die du schon oben hingeschrieben hast
[mm] $a_{1}*(1+d+d^{2}) [/mm] = 19,5$.
Das musst du nun nach [mm] a_{1} [/mm] und d auflösen.
Grüße,
Stefan
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Hallo dxlegends,
> Bei einer geometrischen Folge [mm](a_{n})[/mm] beträgt die Summe
> der ersten drei Glieder 19,5.
> Das dritte Glied ist um 9 größer als das zweite.
> Bestimme das Bildungsgesetz der Folge.
> ich sehe zwar eine erste Gleichung, nämlich:
> [mm]a_{1}+a_{2}+a_{3}=19,5[/mm]
> anders ausgedrückt:
> [mm]a_{1}+d*a_{1}+d^2*a_{1}=19,5[/mm]
Das ist doch schonmal sehr gut! Du kannst noch schreiben:
[mm] $\Rightarrow a_{1}*(1+d+d^2)=19,5$,
[/mm]
wenn du [mm] a_{1} [/mm] ausklammerst.
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich die 2te Aufgabe
> herauslesen soll bzw. wie ich in diesem Fall das
> Bildungsgesetz bilden sollte...
"Das dritte Glied ist um 9 größer als das zweite."
--> Zweites Glied + 9 = Drittes Glied.
Nun bist du wieder dran  Forme den entstehenden Ausdruck mit der Kenntnis, dass [mm] a_{n} [/mm] = [mm] d*a_{n-1} [/mm] ist, wieder so um, dass nur noch d und [mm] a_{1} [/mm] drin vorkommen, und löse dann das Gleichungssystem, das aus deiner obigen Gleichung und der gerade Berechneten entsteht.
Grüße,
Stefan
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Hmm, wenn ich nach [mm] a_{1} [/mm] auflöse erhalte ich (bei Übernahme deines Ausgeklammerten):
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{19,5}{1+d+d^2} [/mm] Was mit zum Weiterrechnen sehr unbequem vorkommt...
setze ich es jetzt in meine Gleichung ein, erhalte ich folgende Gleichung:
[mm] \bruch{19,5}{1+d+d^2} [/mm] + [mm] \bruch{19,5}{1+d+d^2}*d [/mm] + [mm] \bruch{19,5}{1+d+d^2}*d [/mm] = 10,5
Nur irgendwie komme ich jetzt hier auch nicht weiter...
Naja, ich grübel erstmal weiter ;)
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Hallo dxlegends,
> Hmm, wenn ich nach [mm]a_{1}[/mm] auflöse erhalte ich (bei
> Übernahme deines Ausgeklammerten):
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{19,5}{1+d+d^2}[/mm] Was mit zum Weiterrechnen
> sehr unbequem vorkommt...
> setze ich es jetzt in meine Gleichung ein, erhalte ich
> folgende Gleichung:
> [mm]\bruch{19,5}{1+d+d^2}[/mm] + [mm]\bruch{19,5}{1+d+d^2}*d[/mm] +
> [mm]\bruch{19,5}{1+d+d^2}*d[/mm] = 10,5
Multiplizieren mit [mm] 1+d+d^{2} [/mm] liefert eine quadratische Gleichung für d...
Grüße,
Stefan
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Ja, aber wenn ich
$ [mm] \bruch{19,5}{1+d+d^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{19,5}{1+d+d^2}\cdot{}d [/mm] $ +
> $ [mm] \bruch{19,5}{1+d+d^2}\cdot{}d [/mm] $ = 10,5
mit [mm] 1+d+d^2 [/mm] multipliziere, dann muss ich doch auch das ergebnis multiplizieren und sähe dann die Aufgabe nicht wie folgt aus?
19,5 +19,5*d*2 = [mm] 10,5*1+d+d^2
[/mm]
voraus sich bei Umstellung folgendes ergäbe:
[mm] 10,5d^2+10,5d+10,5 [/mm] = 39*d+19,5
dadurch hätte ich doch auf beiden Seiten Variablen... würde ich die Ausgleichen, dann käme ich auf:
[mm] 10,5d^2-28,5d+10,5 [/mm] =19,5
Hmm, so erinnert es mich stark an die p,q-Formel...aber kann ich die in dieser Aufgabe so einfach ansetzen?
Vor allen Dingen hätte ich bei dieser doch 2 Ergebnisse...
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Hallo dxlegends,
> Ja, aber wenn ich
> [mm]\bruch{19,5}{1+d+d^2}[/mm] + [mm]\bruch{19,5}{1+d+d^2}\cdot{}d[/mm] +
> > [mm]\bruch{19,5}{1+d+d^2}\cdot{}d[/mm] = 10,5
> mit [mm]1+d+d^2[/mm] multipliziere, dann muss ich doch auch das
> ergebnis multiplizieren und sähe dann die Aufgabe nicht
> wie folgt aus?
> 19,5 +19,5*d*2 = [mm]10,5*1+d+d^2[/mm]
> voraus sich bei Umstellung folgendes ergäbe:
> [mm]10,5d^2+10,5d+10,5[/mm] = 39*d+19,5
> dadurch hätte ich doch auf beiden Seiten Variablen...
> würde ich die Ausgleichen, dann käme ich auf:
> [mm]10,5d^2-28,5d+10,5[/mm] =19,5
>
> Hmm, so erinnert es mich stark an die p,q-Formel...aber
> kann ich die in dieser Aufgabe so einfach ansetzen?
> Vor allen Dingen hätte ich bei dieser doch 2
> Ergebnisse...
Alle deine Überlegungen sind richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Du hast nun die Gleichung
[mm] $10,5d^2-28,5d+10,5 [/mm] =19,5$
[mm] $\Rightarrow 10,5d^2-28,5d-9 [/mm] =0$
[mm] $\Rightarrow d^2-\frac{28,5}{10,5}*d-\frac{9}{10,5} [/mm] =0$
Nun kannst du die pq-Formel anwenden!
Du bekommst zwei (akzeptable) Ergebnisse, eines ist negativ. Je nachdem, ob eure geometrischen Folgen negative d's haben dürfen, hast du also zwei Ergebnisse.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 So 13.12.2009 | | Autor: | dxlegends |
Naja, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht, danke xD
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Wende ich auf die zusammengefasste Gleichung die p,q Formel an, komme ich an 2 positive Ergebnisse...
[mm] \bruch{19}{14}\pm \wurzel{\bruch{19}{14}-\bruch{6}{7}}
[/mm]
ergibt :
[mm] \bruch{19}{14}\pm \wurzel{\bruch{361-168}{196}}
[/mm]
ergibt für mich:
[mm] \bruch{19}{14} \pm \wurzel{\bruch{193}{196}}
[/mm]
wodurch [mm] x_{1}= [/mm] 0,365 und [mm] x_{2} [/mm] = 2,349 (gerundet, da kein Bruch möglich)
Dann dachte ich mir, der Fehler liegt daran, dass ich ja in der einen Gleichung bissel rumgebastelt hatte und ging von folgenden Gleichungen aus:
I [mm] a_{1}+a_{1}*d +a_{1}+d^2 [/mm] =19,5
II [mm] a_{1}*d [/mm] +9 = [mm] a_{1}*d^2
[/mm]
II aufgelöst nach [mm] a_{1} [/mm] ergab [mm] \bruch{9}{d-d^2}
[/mm]
eingesetzt in I
[mm] \bruch{9}{d-d^2}+ \bruch{9}{d-d^2}*d [/mm] + [mm] \bruch{9}{d-d^2}*d^2 [/mm] =19,5
Brüche beseitigen ergibt:
[mm] 9+9*d+9*d^2 [/mm] = [mm] 19,5*d^2-19,5*d
[/mm]
Zusammengefasst:
[mm] 10,5*d^2-10,5*d-9 [/mm] = 0|:10,5
[mm] d^2-d-9=0
[/mm]
Wende ich hierauf die p,q - Formel an, erhalte ich eine negative Wurzel...
Wo liegt hier der Fehler??
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Hallo dxlegends,
Anstelle des Minus muss ein Plus stehen (siehe rot)
> [mm]\bruch{19}{14}\pm \wurzel{\bruch{19}{14}\red{+}\bruch{6}{7}}[/mm]
>
> ergibt :
> [mm]\bruch{19}{14}\pm \wurzel{\bruch{361\red{+}168}{196}}[/mm]
Dann kommt:
[mm] $d_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{19}{14}\pm \wurzel{\bruch{529}{196}}$
[/mm]
[mm] $d_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{19}{14}\pm \frac{23}{14}$,
[/mm]
was
[mm] $d_{1} [/mm] = +3$ und [mm] $d_{2} [/mm] = [mm] -\frac{2}{7}$
[/mm]
liefert.
> Dann dachte ich mir, der Fehler liegt daran, dass ich ja in
> der einen Gleichung bissel rumgebastelt hatte und ging von
> folgenden Gleichungen aus:
> I [mm]a_{1}+a_{1}*d +a_{1}+d^2[/mm] =19,5
> II [mm]a_{1}*d[/mm] +9 = [mm]a_{1}*d^2[/mm]
>
> II aufgelöst nach [mm]a_{1}[/mm] ergab [mm]\bruch{9}{d-d^2}[/mm]
> eingesetzt in I
> [mm]\bruch{9}{d-d^2}+ \bruch{9}{d-d^2}*d[/mm] +
> [mm]\bruch{9}{d-d^2}*d^2[/mm] =19,5
> Brüche beseitigen ergibt:
> [mm]9+9*d+9*d^2[/mm] = [mm]19,5*d^2-19,5*d[/mm]
Hier hast du dich rechts vertan: Die Vorzeichen der beiden Summanden sind genau andersrum, die richtige rechte Seite lautet:
[mm] $19,5*d-19,5*d^{2}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 So 13.12.2009 | | Autor: | dxlegends |
Autsch :)
Manchmal stellt man sich aber auch blöd an xD
thx
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