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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 So 21.12.2008 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Drei Massen mi sind mit 2 identischen Federn k untereinander befestigt,
im Schema: [mm] m_1 [/mm] - k - [mm] m_2 [/mm] - k - [mm] m_3. [/mm] Für die Massen gelte [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_3 [/mm] = [mm] m_0,
[/mm]
[mm] m_2 [/mm] = [mm] 2m_0, [/mm] mit der (positiven) Einheitsmasse [mm] m_0. [/mm] Die Massen sollen diesmal
jedoch nicht mit der Wand verbunden sein, sondern an den Enden frei
schwingen können (Abwesenheit eines Gravitationspotenzials wird vorausgesetzt).
a.) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen der drei Massen auf. |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Abb.1
Hallo,
lange Rede kurzer Sinn:
1. Schritt
Finden der kinetischen Energie T des frei schwingenden
Systems
Lagrange-Gleichung:
[mm]Gl.-1[/mm] [mm]L = T - V[/mm]
Die Summe der kinetischen Teilenergien der Massen des Systems ergibt T:
Wobei a, b, c jeweils größer oder kleiner Null sein können!
[mm]Gl.-2[/mm] [mm] T = \bruch{1}{2} * \left\{m_1 * \dot{a}^2 + m_2 * \dot{b}^2 + m_3 * \dot{c}^2 \right\}[/mm]
2. Schritt
[mm]k_1 \equiv k_2 \equiv k[/mm]
Finden der potenziellen Energie(n) der beiden Federn des freischwingenden Systems
Da das System frei beweglich schwingt, vermute ich, dass sich die Summe der Spannenergien beider
Federn aus den sich ergebenden Differenzen ergibt:
[mm]Gl.-3[/mm] [mm] V = \bruch{1}{2}* k * \left\{ \left( a - b \right)^2 + \left( c - b \right)^2 \right\}[/mm]
Die Lagrange-Gleichung ergibt sich dann aus der Substitution von T und V in Gl.-1
Meine Frage: sind die Ansätze richtig oder gibt es einen "groben" Denkfehler?
Diese Frage habe ich natürlich in keinem anderen Forum gestellt.
Für Hilfe wäre ich dankbar!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 So 21.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie ich die Aufgabe sehe sind a,b,c Schranken für die entsprechenden x. du solltest deine Variablen also nicht so benennen!
wenn du also durch [mm] x_L [/mm] usw ersetzt sind die Gleichungen für T und V richtig. allerdings ist die Beschränkung der x noch nicht drin.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 So 21.12.2008 | | Autor: | murmel |
Was ist genau damit gemeint "Beschränkung der x"?
Etwa die Freiheitsgrade? Das sind, so nehme ich an, exakt 3!
Also 3 Freiheitsgrade. Daraus folgen dann genau drei Bewegungsgleichungen.
[mm] y_i \wedge z_i [/mm] = 0, mit i =1, 2, 3 (Raum-Komponenten der Masse 1, 2, 3)
Danke für deine Antwort, leduart!
VG, murmel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 22.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Was ist genau damit gemeint "Beschränkung der x"?
> Etwa die Freiheitsgrade? Das sind, so nehme ich an, exakt
> 3!
Das ist richtig, aber nicht gemeint.
In der Aufgabe steht doch, dass die Bewegung der Massen eingeschränkt ist, zum Beispiel [mm] $-a\le x_L\le [/mm] a$. In deiner Lagrangefunktion steckt diese Bedingung aber nirgendwo; sie erlaubt beliebig große Auslenkung der drei Massen.
Viele Grüße
Rainer
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