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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Di 22.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] Y^{(1)} [/mm] die Anzahl der Einsen und [mm] Y^{(6)} [/mm] die Anzahl der Sechsen bei n-maligen unabhängigen Werfen eines fairen Würfels.
i) geben sie die Verteilungen von [mm] Y^{(1)} [/mm] und [mm] Y^{(6)} [/mm] an.
ii) Berechnen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoezienten von [mm] Y^{(1)} [/mm] und [mm] Y^{(6)}.
[/mm]
iii) Bestimmen sie die Varianz von [mm] Y^{(1)}+Y^{(6)} [/mm] |
Guten Tag Leute.
Würde gerne erstmal wissen,ob i) tatsächlich so einfach ist oder ob ich irgendwas übersehe?
Die Verteilung von [mm] Y^{(1)} [/mm] und [mm] Y^{(6)} [/mm] sind doch beide Binomialverteilung mit der Gleichverteilung von p=1/6?
Sprich [mm] P(Y^{(1)} [/mm] = k) = [mm] \vektor{n \\ k}(1/6)^{k}*(5/6)^{n-k}
[/mm]
und für [mm] Y^{(6)} [/mm] dasselbe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Di 22.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Die Verteilung von [mm]Y^{(1)}[/mm] und [mm]Y^{(6)}[/mm] sind doch beide
> Binomialverteilung mit der Gleichverteilung von p=1/6?
>
> Sprich [mm]P(Y^{(1)}[/mm] = k) = [mm]\vektor{n \\ k}(1/6)^{k}*(5/6)^{n-k}[/mm]
>
> und für [mm]Y^{(6)}[/mm] dasselbe?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Schwierigkeiten kommen mit Teil (ii) ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Di 22.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Genau.
Also mein Ansatz ist einfach, dass ich zeige,dass [mm] P(Y^{(1)}*Y^{(6)}) =P(Y^{(1)})*P(Y^{(6)}) [/mm] gilt. Dann ist die Kovarianz ja nämlich 0.
Nun muss ich also zeigen :
[mm] E(Y^{(1)}*Y^{(6)}) [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}}{36}.
[/mm]
Nun frage ich mich bei der linken Seite, über welche xi ich summieren muss? Bleibt es bei 0 bis n (wir haben ja die xi sozusagen : 0,1,2,....,n ; richtig? )
[mm] \summe_{k=0}^{n}k^{2}( \vektor{n \\ k}(1/6){k}*(5/6)^{n-k})^{2} [/mm] =
[mm] \summe_{k=0}^{n}k^{2}( \vektor{n \\ k})^{2}(1/36)^{k}*(25/36)^{n-k}
[/mm]
Wie gehts weiter?
Und ich merke gerade,dass wenn ich ungleichheit rauskriege, dass ich somit die Kovarianz ja nicht erreichnet habe und ich von Anfang an lieber mit der Kovarianz Formel rechnen sollte... Kann mir das jemand bestätigen?
mfg
EDIT : Ahja, mir fällt gerade ein : E(f(X)) = [mm] \summe_{i\in I}^{} [/mm] f(xi) P(X=i)
Dieser Satz gilt, somit gilt ja für unseren Fall,da [mm] Y^{(1)} [/mm] und [mm] Y^{(6)} [/mm] gleich sind : [mm] Y^{(1)} [/mm] = [mm] Y^{(6)} [/mm] = A => [mm] E(A^{2}) [/mm] ?
Und somit [mm] \summe_{k=0}^{n}k^{2} \vektor{n \\ k}(1/6){k}*(5/6)^{n-k} [/mm]
Wenn das der richtige Weg ist, werde ich glaube ich sehen,dass die Reihe ungleich [mm] \bruch{n^{2}}{36} [/mm] sein wird..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Di 22.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
das ist, mit Verlaub, alles ziemlicher Unsinn. [mm] $Y^{(1)}$ [/mm] und [mm] $Y^{(6)}$
[/mm]
sind nicht unabhaengig.
Google mal Multinomialverteilung.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Di 22.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ja, ich habe ja gesagt, dass ich das über die (Un)Abhängigkeit beweisen will..führt aber in eine Sackgasse, da das DIng ja abhängig ist.. sehr dumm von mir!
Also von Vorne :
Cov(Y1,Y6) = E[(Y1-E(Y1))(Y6-E(Y6))] = E[(Y1-np)(Y6-np)] = [mm] E(Y1Y6-npY1-npY6+n^{2}/36) [/mm] = ... ?
Y1 und Y6 kennen wir ja, meine Frage ist jetzt u.a. , über welche xi ich hier summieren muss? Also :
[mm] E(Y1Y6-npY1-npY6+n^{2}/36) [/mm] =(linearität von E)= E(Y1Y6) - npE(Y1)-npE(Y6) + [mm] E(n^{2}/36) [/mm] = E(Y1Y6) - [mm] (n/p)^{2}-(n/p)^{2} [/mm] + [mm] (n/p)^{2} [/mm] = E(Y1Y6) - [mm] (n/p)^{2}
[/mm]
So. Wie rechne ich jetzt E(Y1Y2) aus? Multinomialverteilung?
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i [mm] \bruch{n!(1/6)^{k}(1/6)^{n-k}(5/6)^{n-k-l}}{k!l!}
[/mm]
Muss ich das im Endeffekt ausrechnen? Bitte um Bestätigung/Korrektur.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Di 22.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich wiederhole: Google "Multinomialverteilung", oder noch besser "Trinomialverteilung".
Z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier, Beispiele 3.4.1 und 3.6.5.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 22.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Danke für die Seite. SIeht ja sehr nach dem aus,was bei mir steht, außer,dass sich bei mir kleine Fehler eingeschlichen haben..
Wäre nett gewesen auf meinen Text einzugehen,denn ich habe doch fast dasselbe geschrieben, wie auf der Seite,die du mir geschickt hast..
ALso nochmal mit Korrektur :
$ [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] $ i $ [mm] \bruch{n!(1/6)^{k}(1/6)^{l}(5/6)^{n-k-l}}{k!l!(n-k-l)!} [/mm] $
[ k = #Einsen von n Versuchen; l = #Sechsen von n-k Versuchen; m=#Rest (m=n-k-l) ]
$ [mm] \summe_{k+l+m=n}^{} [/mm] $ k*l $ [mm] \bruch{n!(1/6)^{k}(1/6)^{l}(5/6)^{m}}{k!l!(m)!} [/mm] $
So falsch war ich also nicht. Und dadrauf kommt man auch ohne zu Googlen,sondern mit Tipps wie "Multinomialverteilung". So gibts doch einen besseren Lerneffekt? :) Anstatt stumpf abzuschreiben.
EDIT: Ah oben seh ich,dass ich über alle n summiere, unten aber nur k*l Summanden habe? Auch im Skript werden ja nur k*l SUmmanden addiert, ich darf also bei mir kein Gleichheitszeichen setzen zwischen den beiden Zeilen..
WO ich mich aber Frage : Beim Erwartungswert summiert man über alle Elemente, wieso in diesem Fall nur über der gesuchten Anzahl?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 22.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> [mm]\summe_{k+l+m=n}^{}k*l \bruch{n!(1/6)^{k}(1/6)^{l}(5/6)^{m}}{k!l!(m)!}[/mm]
>
Das sieht gut aus mit [mm] $k,l,m\ge0$.
[/mm]
> EDIT: Ah oben seh ich,dass ich über alle n summiere, unten
> aber nur k*l Summanden habe?
$n_$ ist jeweils gegeben, $k,l_$ sind die Laufindices der Summe.
Beispiel: Ist $n=3_$, so erhaeltst einen Summand mit $k=0,l=1,m=2_$ ...
> Auch im Skript
Welches Skript?
> werden ja nur
> k*l SUmmanden addiert, ich darf also bei mir kein
> Gleichheitszeichen setzen zwischen den beiden Zeilen..
> WO ich mich aber Frage : Beim Erwartungswert summiert man
> über alle Elemente, wieso in diesem Fall nur über der
> gesuchten Anzahl?
Verstehe ich nicht. Du summierst doch ueber alle Elemente [mm] $k\cdot [/mm] l$ ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 22.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Die Formel für den Erwartungswert lautet doch :
E(Y1Y2) = [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] i * P(Y1=k, Y6=l) ?
Und hier summieren wir doch über alle i? ODer nur über die für unseren Fall relevanten?
Wir hatten zB beim Erwartungswert einer Zufallsgröße~Bernoulli Verteilung,
dass wir über alle x [mm] \in \Omega [/mm] (X) summieren, wenn unser [mm] \Omega [/mm] (X) = {0,1} war, haben wir halt über 0 und 1 summiert, sprich 0*P(X=0)+1*P(X=1).
In unserem Fall summieren wir über l*k Elemente, lassen aber die restlichen außer acht? Ich hoffe,das war verständlich, was ich meine.
Oder ich habe bei den Elementen,über die summiert wird,was falsch verstanden.
Also ich merke,dass in meinem Gedankengang etwas nicht stimmt,denn wenn man ja über alle i [mm] \in [/mm] I summiert, kriegt man ja 1 raus..
Wo liegt der DEnkfehler?
Der obere Term aus meiner letzten Antwort stimmt ja dann nicht :
$ [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] $ i $ [mm] \bruch{n!(1/6)^{k}(1/6)^{l}(5/6)^{n-k-l}}{k!l!(n-k-l)!} [/mm] $
? Es ist ja falsch über alle i's zu summieren?
EDIT : Ich bin gerade wegen der Varianz verwirrt.
V(X) = [mm] E(X^{2}) -E(X)^{2} [/mm]
Auf der Seite die du mir geschickt hast
http://www.statistik.uni-muenchen.de/institut/ag/biostat/teaching/statIII2005/skript/kap03.pdf
steht auf seite 16 ganz oben :
Cov(Xi,Xj) = /für i=j/ n*pi- [mm] n*pi^{2} [/mm] , sprich ich müsste für [mm] Var(Y^{(1)}) [/mm] dasselbe rauskriegen, da ja Var(X) = Cov(X,X)
Ich habe für [mm] E(Y1^{2}) [/mm] = n/6 raus?! Zusammen mit [mm] E(Y1)^{2} [/mm] also [mm] n/6-(n/6)^{2}, [/mm] wo ja laut der Seite oben ein n zuviel ist.
Mein weg war,da E(f(X)) = [mm] \summe_{}^{} [/mm] f(x) * P(X=x) gilt:
[mm] E(Y1^{2}) [/mm] = [mm] \summe_{k+m=n}^{} k^{2} \bruch{n!(1/6)^{k}(5/6)^{m}}{k!m!} [/mm] =
[mm] \summe_{k+m=n}^{} \bruch{n}{6}*k \bruch{(n-1)!(1/6)^{k-1}(5/6)^{m}}{(k-1)!m!} [/mm] =
[mm] \bruch{n}{6}\summe_{k-1+m=n}^{} [/mm] k [mm] \bruch{(n-1)!(1/6)^{k-1}(5/6)^{m}}{(k-1)!m!} [/mm] = [mm] \bruch{n}{6} [/mm] * 1 = n/6.
Wo liegt der Fehler?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Di 22.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Die Formel für den Erwartungswert lautet doch :
>
> E(Y1Y2) = [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] i * P(Y1=k, Y6=l) ?
>
> Und hier summieren wir doch über alle i?
Ist [mm] $\operatorname{E}[Y^{(1)}Y^{(6)}]$ [/mm] gemeint?
[mm] $\operatorname{E}[Y^{(1)}Y^{(6)}]= \summe_{k+l+m=n}^{}k\cdot l\cdot P(Y^{(1)}=k,Y^{(6)}=l)=\summe_{0\le k,l\le n}^{}k\cdot l\cdot P(Y^{(1)}=k,Y^{(6)}=l)$.
[/mm]
Fuer $n=2_$ sind das die Summanden $(k,l)=(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)_$.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 22.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ah gut, jetzt seh ichs, danke.
Kannst du mir noch was zu meinem Edit zur Varianz sagen?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Di 22.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe für [mm]E(Y1^{2})[/mm] = n/6 raus?! Zusammen mit [mm]E(Y1)^{2}[/mm]
> also [mm]n/6-(n/6)^{2},[/mm] wo ja laut der Seite oben ein n zuviel
> ist.
>
> Mein weg war,da E(f(X)) = [mm]\summe_{}^{}[/mm] f(x) * P(X=x) gilt:
>
> [mm]E(Y1^{2})[/mm] = [mm]\summe_{k+m=n}^{} k^{2} \bruch{n!(1/6)^{k}(5/6)^{m}}{k!m!}[/mm]
> =
> [mm]\summe_{k+m=n}^{} \bruch{n}{6}*k \bruch{(n-1)!(1/6)^{k-1}(5/6)^{m}}{(k-1)!m!}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{n}{6}\summe_{k-1+m=n}^{}[/mm] k
> [mm]\bruch{(n-1)!(1/6)^{k-1}(5/6)^{m}}{(k-1)!m!}[/mm] = [mm]\bruch{n}{6}[/mm]
> * 1 = n/6.
>
> Wo liegt der Fehler?
>
Dieses Summationskuddelmuddel moechte ich nicht entwirren.
[mm] $Y^{(1)}$ [/mm] Ist binomialverteilt. Also gilt [mm] $\operatorname{Var}[Y^{(1)}]=n(1/6)(5/6)=5n/36$. [/mm] Andererseits ist [mm] $\operatorname{Var}[Y^{(1)}]=\operatorname{E}[Y^{(1)2}]-\operatorname{E}^2[Y^{(1)}]=\operatorname{E}[Y^{(1)2}]-n^2/36$. [/mm] Umformen liefert [mm] $\operatorname{E}[Y^{(1)2}]=(n^2+5n)/36$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 22.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Wie kommst du denn auf [mm] Var(Y^{1}), [/mm] ohne [mm] E(Y1^{2}) [/mm] auszurechnen?
mfg
EDIT : ok habs...danke für die Mühe heute
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