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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Fr 27.07.2012 | | Autor: | Hikari |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Teilmenge M={(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2}+ y^{2} \le [/mm] 25, [mm] |x|\ge [/mm] 4} des metrischen Raums ( [mm] \IR^{2},d), [/mm] wobei [mm] d=d_{2} [/mm] für die euklidsche Metrik steht.
a)Zeichnen Sie M.
b)ist M offen?Ist M abgeschlossen?
c)Geben Sie den Rand von M an.
d)Ist M kompakt?
e)Ist M zusammenhängend? |
Hi!Ich hab leider nicht wirklich einen Plan wie die Metrik aussieht und wie sie überhaupt da reinspielt in die Menge.Steht der Betrag bei der 4 etwa für die Metrik?
...deswegen weiß ich auch nicht wie ichs zeichnen sollte (schwer wenn man keine ahnung hat^^'')Eine Metrik stellt ja einen Abstandsbegriff dar und ich weiß nicht wirklich zu was ich einen Abstand sehen soll.Heißt es etwa dass der abstand von [mm] x^{2} [/mm] zu [mm] y^{2} [/mm] kleiner/gleich 25 ist?
alles andere ist mit so wenig wissen schwer machbar aber wenn ich jetzt von meinem bisherigen Wissen ausgehe, würde ich ansonsten sagen, dass
M abgeschlossen ist und auch kompakt.Damit folgt zusammenhängend (?) und ja Rand gar keine ahnung weils ja was mit dem abstandbegriff zu tun hat...
Wäre sehr dankbar für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Fr 27.07.2012 | | Autor: | hippias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Betrachten Sie die Teilmenge M=\{(x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] : [mm]x^{2}+ y^{2} \le[/mm] 25, [mm]|x|\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
4\} des metrischen Raums ( [mm]\IR^{2},d),[/mm] wobei
> [mm]d=d_{2}[/mm] für die euklidsche Metrik steht.
> a)Zeichnen Sie M.
> b)ist M offen?Ist M abgeschlossen?
> c)Geben Sie den Rand von M an.
> d)Ist M kompakt?
> e)Ist M zusammenhängend?
> Hi!Ich hab leider nicht wirklich einen Plan wie die Metrik
> aussieht und wie sie überhaupt da reinspielt in die
> Menge.Steht der Betrag bei der 4 etwa für die Metrik?
Richtig:$M$ hat eigentlich nichts mit der Metrik zu tun - diese Menge ist unabhaengig von der betrachteten Metrik. Der Betrag steht nicht fuer die Metrik. Zeichnen jedoch sollte man $M$ trotzdem koennen. Abhaengig von der Metrik sind die Eigenschaften abgeschlossen/offen und die davon abgeleiteten wie kompakt etc. Es ist moeglich, dass eine Menge bezueglich der einen Metrik offen ist, bezueglich einer anderen aber nicht.
> ...deswegen weiß ich auch nicht wie ichs zeichnen sollte
> (schwer wenn man keine ahnung hat^^'')Eine Metrik stellt ja
> einen Abstandsbegriff dar und ich weiß nicht wirklich zu
> was ich einen Abstand sehen soll.Heißt es etwa dass der
> abstand von [mm]x^{2}[/mm] zu [mm]y^{2}[/mm] kleiner/gleich 25 ist?
>
> alles andere ist mit so wenig wissen schwer machbar aber
> wenn ich jetzt von meinem bisherigen Wissen ausgehe, würde
> ich ansonsten sagen, dass
> M abgeschlossen ist und auch kompakt.
Richtig vermutet.
> Damit folgt
> zusammenhängend (?)
Aus abgeschlossen/ kompakt folgt nicht Zusammenhang.
> und ja Rand gar keine ahnung weils ja
> was mit dem abstandbegriff zu tun hat...
>
> Wäre sehr dankbar für deine Hilfe!
>
Mal angenommen Du hast [mm] $a:=(x,y)\in \IR^{2}$ [/mm] was ist dann der (euklidische) Abstand zum Koordinatenursprung, also $d(a, 0)$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Fr 27.07.2012 | | Autor: | Hikari |
> Richtig:[mm]M[/mm] hat eigentlich nichts mit der Metrik zu tun -
> diese Menge ist unabhaengig von der betrachteten Metrik.
> Der Betrag steht nicht fuer die Metrik. Zeichnen jedoch
> sollte man [mm]M[/mm] trotzdem koennen.
ok...und wie?betrachte ich M jetzt einfach ohne die Metrik,rechne aus, was reingehört und was nicht und zeichne es dann als wäre keine metrik gegeben?
Wir würden also durch die Ungleichungen [mm] x^{2} +y^{2}\le [/mm] 25 und [mm] 4\le [/mm] |x|
erhalten: [mm] 5\ge |x|\ge [/mm] 4 und |y| [mm] \le [/mm] 3 erhalten oder? Das ergäbe ja praktisch 2Rechtecke die nicht verbunden sind.
Abhaengig von der Metrik
> sind die Eigenschaften abgeschlossen/offen und die davon
> abgeleiteten wie kompakt etc. Es ist moeglich, dass eine
> Menge bezueglich der einen Metrik offen ist, bezueglich
> einer anderen aber nicht.
Hm..ok wenn das abhängig von der Metrik ist,wie zeigt man dann zb abgeschlossen (ich habs ja jetzt unabhängig davin betrachtet.)Im Skript steht dazu nur:
"Es sei (M,d) ein metrischer Raum.Dann heißt A [mm] \in [/mm] M abgeschlossen,falls [mm] M\A [/mm] offen ist."
Wir haben also nur eine Definition von Teilmengen von M für Metriken.Wenn man das hier anwenden würde, so würde das doch immer gelten (also für alle Mengen die man so angibt), da [mm] M\M [/mm] die leere Menge ist und die offen ist oder etwa nicht?
Ansosnten hatten wir nie eine Definition in die die Metrik reinspielte in Ana 1.
Heißt es wenn keine Metrik dabeisteht automatisch die euklidsche Metrik angenommen wird?
> > ...deswegen weiß ich auch nicht wie ichs zeichnen sollte
> > (schwer wenn man keine ahnung hat^^'')Eine Metrik stellt ja
> > einen Abstandsbegriff dar und ich weiß nicht wirklich zu
> > was ich einen Abstand sehen soll.Heißt es etwa dass der
> > abstand von [mm]x^{2}[/mm] zu [mm]y^{2}[/mm] kleiner/gleich 25 ist?
> >
> > alles andere ist mit so wenig wissen schwer machbar aber
> > wenn ich jetzt von meinem bisherigen Wissen ausgehe, würde
> > ich ansonsten sagen, dass
> > M abgeschlossen ist und auch kompakt.
> Richtig vermutet.
> > Damit folgt
> > zusammenhängend (?)
> Aus abgeschlossen/ kompakt folgt nicht Zusammenhang.
Ok ausgehend von der Darstellung würde ich sagen, dass die Menge nicht zusammenhängend ist.
> Mal angenommen Du hast [mm]a:=(x,y)\in \IR^{2}[/mm] was ist dann der
> (euklidische) Abstand zum Koordinatenursprung, also [mm]d(a, 0)[/mm]?
[mm] \wurzel{x^{2} +y^{2}} [/mm] ?
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Hallo Hikari,
> ok...und wie?betrachte ich M jetzt einfach ohne die
> Metrik,rechne aus, was reingehört und was nicht und
> zeichne es dann als wäre keine metrik gegeben?
Ja. In der Definition deiner Menge kommt die Metrik nicht vor.
Machs nicht so kompliziert: [mm] M=M_1\cap M_2 [/mm] mit
[mm]M_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2\leq 25\}[/mm]
[mm]M_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ |x|\geq 4\}[/mm]
Wie sehen [mm]M_1[/mm], [mm]M_2[/mm] aus? Wie sieht der Schnitt
aus?
> Wir würden also durch die Ungleichungen [mm]x^{2} +y^{2}\le[/mm]
> 25 und [mm]4\le[/mm] |x|
> erhalten: [mm]5\ge |x|\ge[/mm] 4 und |y| [mm]\le[/mm] 3 erhalten oder? Das
> ergäbe ja praktisch 2Rechtecke die nicht verbunden sind.
Weiß nicht wie du drauf kommst.
> Hm..ok wenn das abhängig von der Metrik ist,wie zeigt man
> dann zb abgeschlossen (ich habs ja jetzt unabhängig davin
> betrachtet.)Im Skript steht dazu nur:
> "Es sei (M,d) ein metrischer Raum.Dann heißt A [mm]\in[/mm] M
> abgeschlossen,falls [mm]M\A[/mm] offen ist."
Schau nochmal im Skript nach. Die Def. macht so keinen Sinn. Aber so:
Es sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum. Dann heißt A [mm]\subset[/mm] X abgeschlossen, falls [mm]X\backslash A[/mm] offen ist.
Hier ist jetzt [mm]X=\mathbb{R}^2[/mm] und [mm]A=M[/mm].
> Wir haben also nur eine Definition von Teilmengen von M
> für Metriken.Wenn man das hier anwenden würde, so würde
> das doch immer gelten (also für alle Mengen die man so
> angibt), da [mm]M\M[/mm] die leere Menge ist und die offen ist oder
> etwa nicht?
Die Bezeichnungen aus deiner Definition und Aufgabenstellung überschneiden sich einfach
nur (daher habe ich X anstatt M in der Def. verwendet).
> Ansosnten hatten wir nie eine Definition in die die Metrik
> reinspielte in Ana 1.
> Heißt es wenn keine Metrik dabeisteht automatisch die
> euklidsche Metrik angenommen wird?
Da weiß ich nicht so genau was du meinst. Nicht jeder Raum
ist metrisch.
>
> > > ...deswegen weiß ich auch nicht wie ichs zeichnen sollte
> > > (schwer wenn man keine ahnung hat^^'')Eine Metrik stellt ja
> > > einen Abstandsbegriff dar und ich weiß nicht wirklich zu
> > > was ich einen Abstand sehen soll.Heißt es etwa dass der
> > > abstand von [mm]x^{2}[/mm] zu [mm]y^{2}[/mm] kleiner/gleich 25 ist?
> > >
> > > alles andere ist mit so wenig wissen schwer machbar aber
> > > wenn ich jetzt von meinem bisherigen Wissen ausgehe, würde
> > > ich ansonsten sagen, dass
> > > M abgeschlossen ist und auch kompakt.
> > Richtig vermutet.
> > > Damit folgt
> > > zusammenhängend (?)
> > Aus abgeschlossen/ kompakt folgt nicht Zusammenhang.
> Ok ausgehend von der Darstellung würde ich sagen, dass
> die Menge nicht zusammenhängend ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber keine Rechtecke 
>
> > Mal angenommen Du hast [mm]a:=(x,y)\in \IR^{2}[/mm] was ist dann der
> > (euklidische) Abstand zum Koordinatenursprung, also [mm]d(a, 0)[/mm]?
>
> [mm]\wurzel{x^{2} +y^{2}}[/mm] ?
Beste Grüße
Der Spunk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Fr 27.07.2012 | | Autor: | Hikari |
> Ja. In der Definition deiner Menge kommt die Metrik nicht
> vor.
> Machs nicht so kompliziert: [mm]M=M_1\cap M_2[/mm] mit
>
> [mm]M_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2\leq 25\}[/mm]
>
> [mm]M_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ |x|\geq 4\}[/mm]
>
> Wie sehen [mm]M_1[/mm], [mm]M_2[/mm] aus? Wie sieht der Schnitt
> aus?
>
> > Wir würden also durch die Ungleichungen [mm]x^{2} +y^{2}\le[/mm]
> > 25 und [mm]4\le[/mm] |x|
> > erhalten: [mm]5\ge |x|\ge[/mm] 4 und |y| [mm]\le[/mm] 3 erhalten oder?
> Das
> > ergäbe ja praktisch 2Rechtecke die nicht verbunden sind.
>
> Weiß nicht wie du drauf kommst.
Naja genauso sieht bei mir der schnitt aus.zusammen dürfen [mm] x^{2} [/mm] und [mm] y^{2} [/mm] nicht mehr als 25 ergeben.das hieße erstmal dass x maximal 5 werden könnte wenn y=0 wäre und das gleiche gilt für y.
nun muss aber betrag von x größer/gleich 4 sein.also muss x zwischen 4 und 5 liegen.Dementsprechend kann also y nicht größer als |y|=3 werden.Stimmt mit den rechtecken habe ich falsch gelegen.aber ist das prinzip ansonsten nicht richtig?
>
> > Hm..ok wenn das abhängig von der Metrik ist,wie zeigt man
> > dann zb abgeschlossen (ich habs ja jetzt unabhängig davin
> > betrachtet.)Im Skript steht dazu nur:
> > "Es sei (M,d) ein metrischer Raum.Dann heißt A [mm]\in[/mm] M
> > abgeschlossen,falls [mm]M\A[/mm] offen ist."
>
> Schau nochmal im Skript nach. Die Def. macht so keinen
> Sinn. Aber so:
>
> Es sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum. Dann heißt A [mm]\subset[/mm] X
> abgeschlossen, falls [mm]X\backslash A[/mm] offen ist.
>
> Hier ist jetzt [mm][/mm] und [mm]A=M[/mm].
>
ups ja das meinte ich das hat der konverter geschluckt^^''
> > Wir haben also nur eine Definition von Teilmengen von M
> > für Metriken.Wenn man das hier anwenden würde, so würde
> > das doch immer gelten (also für alle Mengen die man so
> > angibt), da [mm]M\M[/mm] die leere Menge ist und die offen ist oder
> > etwa nicht?
>
> Die Bezeichnungen aus deiner Definition und
> Aufgabenstellung überschneiden sich einfach
> nur (daher habe ich X anstatt M in der Def. verwendet).
achso also betrachten wir eiegntlich einen metrischen raum auf [mm] X=\mathbb{R}^2 [/mm] und nicht auf M?
> > Ansosnten hatten wir nie eine Definition in die die Metrik
> > reinspielte in Ana 1.
> > Heißt es wenn keine Metrik dabeisteht automatisch die
> > euklidsche Metrik angenommen wird?
>
> Da weiß ich nicht so genau was du meinst. Nicht jeder
> Raum
> ist metrisch.
>
> >
> > > > ...deswegen weiß ich auch nicht wie ichs zeichnen sollte
> > > > (schwer wenn man keine ahnung hat^^'')Eine Metrik stellt ja
> > > > einen Abstandsbegriff dar und ich weiß nicht wirklich zu
> > > > was ich einen Abstand sehen soll.Heißt es etwa dass der
> > > > abstand von [mm]x^{2}[/mm] zu [mm]y^{2}[/mm] kleiner/gleich 25 ist?
> > > >
> > > > alles andere ist mit so wenig wissen schwer machbar aber
> > > > wenn ich jetzt von meinem bisherigen Wissen ausgehe, würde
> > > > ich ansonsten sagen, dass
> > > > M abgeschlossen ist und auch kompakt.
> > > Richtig vermutet.
> > > > Damit folgt
> > > > zusammenhängend (?)
> > > Aus abgeschlossen/ kompakt folgt nicht Zusammenhang.
> > Ok ausgehend von der Darstellung würde ich sagen, dass
> > die Menge nicht zusammenhängend ist.
>
> Aber keine Rechtecke
>
> >
> > > Mal angenommen Du hast [mm]a:=(x,y)\in \IR^{2}[/mm] was ist dann der
> > > (euklidische) Abstand zum Koordinatenursprung, also [mm]d(a, 0)[/mm]?
>
> >
> > [mm]\wurzel{x^{2} +y^{2}}[/mm] ?
>
> Beste Grüße
> Der Spunk
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Fr 27.07.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
>
...
> Naja genauso sieht bei mir der schnitt aus.zusammen dürfen
> [mm]x^{2}[/mm] und [mm]y^{2}[/mm] nicht mehr als 25 ergeben.das hieße
> erstmal dass x maximal 5 werden könnte wenn y=0 wäre und
> das gleiche gilt für y.
> nun muss aber betrag von x größer/gleich 4 sein.also
> muss x zwischen 4 und 5 liegen.Dementsprechend kann also y
> nicht größer als |y|=3 werden.Stimmt mit den rechtecken
> habe ich falsch gelegen.aber ist das prinzip ansonsten
> nicht richtig?
Was Du über x und y schreibst ist richtig.
Aber kannst Du M jetzt zeichnen?
>
...
> >
> ups ja das meinte ich das hat der konverter geschluckt^^''
>
...
> >
> > Die Bezeichnungen aus deiner Definition und
> > Aufgabenstellung überschneiden sich einfach
> > nur (daher habe ich X anstatt M in der Def. verwendet).
>
> achso also betrachten wir eiegntlich einen metrischen raum
> auf [mm]X=\mathbb{R}^2[/mm] und nicht auf M?
Ja, den metrischen Raum [mm] $(\IR^2, d_2)$ [/mm] mit der euklidischen Metrik [mm] $d_2$.
[/mm]
Für [mm] $\vektor{x_1 \\ y_1}, \vektor{x_2 \\ y_2} \in \IR^2$ [/mm] ist [mm] $d_2\left(\vektor{x_1 \\ y_1}, \vektor{x_2 \\ y_2}\right) [/mm] = [mm] \wurzel{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$.
[/mm]
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...
> >
> > >
> > > > Mal angenommen Du hast [mm]a:=(x,y)\in \IR^{2}[/mm] was ist dann der
> > > > (euklidische) Abstand zum Koordinatenursprung, also [mm]d(a, 0)[/mm]?
>
> >
> > >
> > > [mm]\wurzel{x^{2} +y^{2}}[/mm] ?
> >
...
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Hikari |
> Hallo,
>
> >
> ...
> > Naja genauso sieht bei mir der schnitt aus.zusammen
> dürfen
> > [mm]x^{2}[/mm] und [mm]y^{2}[/mm] nicht mehr als 25 ergeben.das hieße
> > erstmal dass x maximal 5 werden könnte wenn y=0 wäre und
> > das gleiche gilt für y.
> > nun muss aber betrag von x größer/gleich 4 sein.also
> > muss x zwischen 4 und 5 liegen.Dementsprechend kann also y
> > nicht größer als |y|=3 werden.Stimmt mit den rechtecken
> > habe ich falsch gelegen.aber ist das prinzip ansonsten
> > nicht richtig?
> Was Du über x und y schreibst ist richtig.
> Aber kannst Du M jetzt zeichnen?
Ich hatte mir überlegt, dass wenn |x|=5 ist, y nur 0 sein kann.Außerdem muss |x| ja mindestens 4 sein.Wenn es 4 wäre, dann kann |y| höchstens 3 sein.Es ergäbe sich also praktisch eine Funktion (die wahrscheinlich nicht linear ist^^') mit der man eine Art Dreieck hätte, einmal im Positiven und einmal im Negativen.oder liebe ich hier wieder falsch mit der idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Sa 28.07.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> > Hallo,
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> > >
> > ...
> > > Naja genauso sieht bei mir der schnitt aus.zusammen
> > dürfen
> > > [mm]x^{2}[/mm] und [mm]y^{2}[/mm] nicht mehr als 25 ergeben.das hieße
> > > erstmal dass x maximal 5 werden könnte wenn y=0 wäre und
> > > das gleiche gilt für y.
> > > nun muss aber betrag von x größer/gleich 4
> sein.also
> > > muss x zwischen 4 und 5 liegen.Dementsprechend kann also y
> > > nicht größer als |y|=3 werden.Stimmt mit den rechtecken
> > > habe ich falsch gelegen.aber ist das prinzip ansonsten
> > > nicht richtig?
> > Was Du über x und y schreibst ist richtig.
> > Aber kannst Du M jetzt zeichnen?
> Ich hatte mir überlegt, dass wenn |x|=5 ist, y nur 0 sein
> kann.Außerdem muss |x| ja mindestens 4 sein.Wenn es 4
> wäre, dann kann |y| höchstens 3 sein.Es ergäbe sich also
> praktisch eine Funktion (die wahrscheinlich nicht linear
> ist^^') mit der man eine Art Dreieck hätte, einmal im
> Positiven und einmal im Negativen.oder liebe ich hier
> wieder falsch mit der idee?
>
Deine Überlegungen sind schon richtig, nur ist es kein Dreieck (wegen nicht
linear), sondern ein Kreissegment.
Die Punkte (4;3), (5;0) und (4;-3) sind durch einen Kreisbogen mit Radius 5
und Mittelpunkt (0;0) verbunden.
Analog die Punkte (-4;3), (-5;0) und (-4;-3).
Siehe ![[]](/images/popup.gif) Koordinatengleichung eines Kreises
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Hikari |
ah super vielen dank für die mühe!
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