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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mo 23.04.2012 | | Autor: | JackRed |
| Aufgabe | Ist [mm] \mathcal{O}:=\{(-\infty,a):a\in\IR\}\cup\{\emptyset,\IR\} [/mm] eine Topologie auf [mm] \IR?
[/mm]
Wenn ja, besitzt der topologische Raum eine abzählbare Basis? |
Hallo,
Um überprüfen, ob das eine Topologie ist, müsste man ja die Definition der Topologie durchgehen und gucken, ob das hierauf zutrifft.
[mm] \emptyset [/mm] und [mm] \IR [/mm] sind in [mm] \mathcal{O}.
[/mm]
Dass der Schnitt endlich vieler Mengen aus [mm] \mathcal{O} [/mm] wieder in [mm] \mathcal{O} [/mm] liegt oder nicht, lässt sich auch leicht zeigen, indem man es für zwei beliebige Mengen aus [mm] \mathcal{O} [/mm] zeigt, so dass der Rest induktiv folgt.
Mein Problem, und das besteht generell und nicht nur in diesem Beispiel, ist wie ich die Stabilität des Systems unter Vereinigungen zeige.
Für eine Topologie muss ja gelten:
Sei I eine beliebige Indexmenge und für jedes [mm] i\in\[I [/mm] sei ein [mm] T_{i}\in\mathcal{O} [/mm] gegeben. Dann gilt [mm] \bigcup_{i\in I}T_{i}\in\mathcal{O}
[/mm]
Mein Problem ist einfach, dass ich überhaupt nicht weiß wo ich bei solch einer Behauptung anfangen soll. Da ja keine endliche Vereinigung vorausgesetzt ist, kann ich auch nicht einfach zwei Mengen nehmen und gucken ob's passt.
Hab's auch mit Widerspruch versucht, aber da komm ich auch nicht so recht weiter.
Wie geht man da also am besten vor?
Zum zweiten Teil der Aufgabe:
Ist hier der übliche Weg, eine Basis zu finden und dann zu gucken, ob sie abzählbar ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wird editiert: Sorry, bin in [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] abgerutscht. Die Antwort hier ist noch falsch!!
Korrigiert!!
> Ist
> [mm]\mathcal{O}:=\{(-\infty,a):a\in\IR\}\cup\{\emptyset,\IR\}[/mm]
> eine Topologie auf [mm]\IR?[/mm]
> Wenn ja, besitzt der topologische Raum eine abzählbare
> Basis?
>
> Hallo,
>
> Um überprüfen, ob das eine Topologie ist, müsste man ja
> die Definition der Topologie durchgehen und gucken, ob das
> hierauf zutrifft.
> [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\IR[/mm] sind in [mm]\mathcal{O}.[/mm]
> Dass der Schnitt endlich vieler Mengen aus [mm]\mathcal{O}[/mm]
> wieder in [mm]\mathcal{O}[/mm] liegt oder nicht, lässt sich auch
> leicht zeigen, indem man es für zwei beliebige Mengen aus
> [mm]\mathcal{O}[/mm] zeigt, so dass der Rest induktiv folgt.
>
> Mein Problem, und das besteht generell und nicht nur in
> diesem Beispiel, ist wie ich die Stabilität des Systems
> unter Vereinigungen zeige.
Das kann man nicht wirklich verallgemeinern: Meist erstmal mit "versuchen, sich klarzumachen, wie solche Vereinigungen wohl aussehen" und dann halt einen entsprechenden Beweis aufzuschreiben (oder es zumindest versuchen). Du kannst Dir ja mal den [mm] $\IR^n$ [/mm] vornehmen, und darin dann das Mengensystem der offenen Mengen betrachten (wobei offen dabei "offen bzgl. üblicher von der euklidischen Norm her kommenden Metrik" gemeint ist) .
Oder man versucht halt einen Gegenbeweis.
> Für eine Topologie muss ja gelten:
> Sei I eine beliebige Indexmenge und für jedes [mm]i\in\[I[/mm] sei
> ein [mm]T_{i}\in\mathcal{O}[/mm] gegeben. Dann gilt [mm]\bigcup_{i\in I}T_{i}\in\mathcal{O}[/mm]
>
> Mein Problem ist einfach, dass ich überhaupt nicht weiß
> wo ich bei solch einer Behauptung anfangen soll.
Bevor Du zu dem Axiom "beliebige Vereinigungen offener Mengen sollen wieder offen sein" kommst:
1.) Der Grundraum und die Leeremenge müssen in dem Mengensystem liegen, wenn das Mengensystem eine Topologie auf dem Grundraum sein soll. Das ist oben offensichtlich gegeben.
2.) Schnitte gebildet aus endlich vielen Mengen von [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] sollen ja wieder zu [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] gehören:
Das ist schonmal klar, wenn eine dieser Mengen die Leeremenge ist. In den anderen Fällen arbeite "mit den Mengen in Intervalldarstellung per Definitionem von [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] (unten siehst Du das, wie ich das meine - insbesondere [mm] $\emptyset=(-\infty,-\infty)$ [/mm] und [mm] $\IR=(-\infty,\infty)$ [/mm] mit [mm] $\pm \infty \notin \IR$) [/mm] - die obere Intervallgrenze wird dabei nicht [mm] $-\infty$ [/mm] sein!" und bilde das Infimum über alle oberen Intervallgrenzen - welches dann das Minimum sein wird (Warum?).
> Da ja
> keine endliche Vereinigung vorausgesetzt ist, kann ich
> auch nicht einfach zwei Mengen nehmen und gucken ob's
> passt.
Man könnte bei zwei schonmal gucken, ob's passt. Hier würd's auch immer passen:
Sind [mm] $X_i$ [/mm] mit $i [mm] \in [/mm] I$ irgendwelche Mengen in [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] für irgendeine Indexmenge [mm] $I\,,$ [/mm] so kann man jedes [mm] $X_i=(-\infty,a_i)$ [/mm] mit geeigneten [mm] $a_i \in \IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] schreiben (mit [mm] $(-\infty,-\infty):=\emptyset$ [/mm] und [mm] $(-\infty,\infty):=\IR$). [/mm] Jetzt denke mal drüber nach, was Du mit [mm] $\text{sup} \{a_i: \; i \in I\}=\sup \bigcup_{i \in I}\{a_i\}$ [/mm] hier machen kannst.
(Im Falle, dass [mm] $I\,$ [/mm] endlich wäre, wäre das [mm] $\sup$ [/mm] sogar ein [mm] $\max\,.$ [/mm] Aber oben muss man das nicht separat untersuchen.)
> Hab's auch mit Widerspruch versucht, aber da komm ich auch
> nicht so recht weiter.
> Wie geht man da also am besten vor?
>
> Zum zweiten Teil der Aufgabe:
> Ist hier der übliche Weg, eine Basis zu finden und dann
> zu gucken, ob sie abzählbar ist?
Was ist denn bei Dir "der übliche Weg um eine Basis zu finden"? Ich kenne Deinen Kenntnisstand bzgl. "topologischer Räume" nicht. Da musst Du mehr dazu schreiben, was bei Euch schon "üblich" ist!
P.S.
Ich hoffe, ich habe nun keinen Käse mehr hier stehen. Ich hab' in letzter Zeit zu oft mit [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] gearbeitet, daher der Käse, der anfangs hier stand!
P.P.S.
Deine Argumente für [mm] $\emptyset, \IR \in \mathcal{O}$ [/mm] und dass endliche Schnitte von Mengen aus [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] wieder in [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] liegen, hatte ich eben irgendwie überlesen. Du hattest das natürlich schon vollkommen korrekt erkannt!! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 23.04.2012 | | Autor: | JackRed |
Hey, erstmal vielen Dank für deine Antwort :)
> Man könnte bei zwei schonmal gucken, ob's passt. Hier
> würd's auch immer passen:
> Sind [mm]X_i[/mm] mit [mm]i \in I[/mm] irgendwelche Mengen in [mm]\mathcal{O}[/mm]
> für irgendeine Indexmenge [mm]I\,,[/mm] so kann man jedes
> [mm]X_i=(-\infty,a_i)[/mm] mit geeigneten [mm]a_i \in \IR \cup \{\pm \infty\}[/mm]
> schreiben (mit [mm](-\infty,-\infty):=\emptyset[/mm] und
> [mm](-\infty,\infty):=\IR[/mm]). Jetzt denke mal drüber nach, was
> Du mit [mm]\text{sup} \{a_i: \; i \in I\}=\sup \bigcup_{i \in I}\{a_i\}[/mm]
> hier machen kannst.
>
> (Im Falle, dass [mm]I\,[/mm] endlich wäre, wäre das [mm]\sup[/mm] sogar ein
> [mm]\max\,.[/mm] Aber oben muss man das nicht separat untersuchen.)
Ich komm leider nicht drauf, worauf du damit hinaus willst. Ist es denn nicht [mm] \sup \{a_i: \; i \in I\}=\sup \bigcup_{i \in I}\{a_i\}=\infty?
[/mm]
> Was ist denn bei Dir "der übliche Weg um eine Basis zu
> finden"? Ich kenne Deinen Kenntnisstand bzgl.
> "topologischer Räume" nicht. Da musst Du mehr dazu
> schreiben, was bei Euch schon "üblich" ist!
Nee, also ich habe gar keinen "üblichen Weg". Meine Frage war nur, ob es allgemein bzw. z.B. bei dir der erste bzw. direkte Weg wäre, eine Basis durch Hingucken zu erraten, dann beweisen, dass das 'ne Basis ist, die abzählbar ist.
@tobit09: Danke für den Tipp.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, erstmal vielen Dank für deine Antwort :)
>
>
> > Man könnte bei zwei schonmal gucken, ob's passt. Hier
> > würd's auch immer passen:
> > Sind [mm]X_i[/mm] mit [mm]i \in I[/mm] irgendwelche Mengen in [mm]\mathcal{O}[/mm]
> > für irgendeine Indexmenge [mm]I\,,[/mm] so kann man jedes
> > [mm]X_i=(-\infty,a_i)[/mm] mit geeigneten [mm]a_i \in \IR \cup \{\pm \infty\}[/mm]
> > schreiben (mit [mm](-\infty,-\infty):=\emptyset[/mm] und
> > [mm](-\infty,\infty):=\IR[/mm]). Jetzt denke mal drüber nach, was
> > Du mit [mm]\text{sup} \{a_i: \; i \in I\}=\sup \bigcup_{i \in I}\{a_i\}[/mm]
> > hier machen kannst.
> >
> > (Im Falle, dass [mm]I\,[/mm] endlich wäre, wäre das [mm]\sup[/mm] sogar ein
> > [mm]\max\,.[/mm] Aber oben muss man das nicht separat untersuchen.)
> Ich komm leider nicht drauf, worauf du damit hinaus
> willst. Ist es denn nicht [mm]\sup \{a_i: \; i \in I\}=\sup \bigcup_{i \in I}\{a_i\}=\infty?[/mm]
nein. Warum sollte die Menge [mm] $M:=\sup\{a_k: k \in I\}\,,$ [/mm] wobei [mm] $X_k=(-\infty,a_k) \in \mathcal{O}$ [/mm] für alle $k [mm] \in [/mm] I$ mit dann passenden [mm] $a_k \in \IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] für alle $k [mm] \in [/mm] I$ denn nach oben unbeschränkt sein?
Es könnte ja etwa [mm] $I:=\{-3\} \cup [/mm] [1,2)$ und [mm] $X_k=(-\infty,\;k-1)\,,$ [/mm] also etwa [mm] $a_k=k-1\,,$ [/mm] für alle $k [mm] \in I=\{-3\} \cup [/mm] [1,2)$ sein. Was wäre dann [mm] $M\,$ [/mm] und was dann [mm] $\sup [/mm] M$?
Und natürlich würde ich bei der Betrachtung schon Fallunterscheidungen machen - einfach für mich selbst schon zum besseren Verständnis:
Zunächst betrachten wir die Fälle, dass weder [mm] $\infty$ [/mm] noch [mm] $-\infty$ [/mm] Elemente aus [mm] $M\,$ [/mm] seien.
1. Fall: Sei [mm] $M\,$ [/mm] nach oben beschränkt. Dann ist [mm] $M\,$ [/mm] eine nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] $\IR\,.$ [/mm] Also...
2. Fall: Sei [mm] $M\,$ [/mm] nach oben unbeschränkt, dann folgt...
Und dann musst Du natürlich noch die Sonderfälle: Nur [mm] $\infty \in [/mm] M$ bzw. nur [mm] $-\infty \in [/mm] M$ bzw. [mm] $\pm \infty$ [/mm] beide [mm] $\in [/mm] M$ betrachten (wobei es sein kann, dass man da weniger Fallunterscheidungen braucht).
Und vielleicht, damit Dir das ganze erstmal klar ist:
Betrachte erstmal für endlich viele Intervalle der Bauart [mm] $(-\infty,a_1)\,,\ldots,(-\infty,a_n)$ [/mm] deren Vereinigung. Wie sieht das denn aus? (Sofern die [mm] $a_k$ [/mm] nicht schon der Größe nach geordnet sind!) Wann wird diese Vereinigung "langweilig"? (Wenn [mm] $\infty$ [/mm] als Grenze auftaucht!)
Und beachte auch:
Dass man die genannte Vereinigung als [mm] $(-\infty,\;\sup [/mm] M)$ schreiben kann, ist auch noch zu beweisen. (Wobei auch [mm] $\sup M=\infty$ [/mm] oder [mm] $\sup M=-\infty$ [/mm] möglich ist: Also [mm] $\sup [/mm] M [mm] \in \IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] ist erlaubt!)
> > Was ist denn bei Dir "der übliche Weg um eine Basis zu
> > finden"? Ich kenne Deinen Kenntnisstand bzgl.
> > "topologischer Räume" nicht. Da musst Du mehr dazu
> > schreiben, was bei Euch schon "üblich" ist!
> Nee, also ich habe gar keinen "üblichen Weg". Meine Frage
> war nur, ob es allgemein bzw. z.B. bei dir der erste bzw.
> direkte Weg wäre, eine Basis durch Hingucken zu erraten,
> dann beweisen, dass das 'ne Basis ist, die abzählbar ist.
>
>
> @tobit09: Danke für den Tipp.
Ja, das war ein guter Tipp von ihm. 
P.S.
Wenn Dir das alles noch ein wenig zu abstrakt erscheint:
Wie sehen denn die Elemente aus obigem Mengensystem [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] aus, wenn man sie am Zahlenstrahl visualisieren will? Was wird dann aus deren Vereinigung, wenn man beliebig viele solcher vereinigen will?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo JackRed,
Marcel hat ja schon alles geschrieben.
Daher nur noch ein kleiner Tipp zum zweiten Teil:
Wenn es um reelle Zahlen und abzählbare Teile geht, muss ich spontan an [mm] $\IQ$ [/mm] denken...
Viele Grüße
Tobias
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