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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Di 15.06.2004 | | Autor: | mori |
X ist ein T2- Raum und X`= ("X" vereinigt mit "unendlich"), wobei unendlich von allen Punkten von X verschieden (also ein neuer Punkt) ist.
z.z. ist:
1) X ist genau dann ein dichter Teilraum von X`, wenn X nicht quasikompakt ist.
2) X`ist kein T2- Raum, wenn X nicht lokal kompakt ist.
ich habe mir zuerst mal die Definitionen vorgenommen:
ein top raum heißt quasikompakt, wenn jede offene überdeckung eine endl teilüberdeckung besitzt.
T2-Raum: Je 2 verschiedene Punkte besitzen disjunkte Umgebungen.
ein T2- Raum heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt x eine quasikompakte Umgebung besitzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mori!
Du musst dir erst einmal die Topologie in $X'=X [mm] \cup \{\infty\}$ [/mm] klar machen: Die offenen Mengen in $X'$ sind die offenen Mengen in $X$ und die Komplemente $X' [mm] \setminus [/mm] K$ kompakter Mengen $K [mm] \subset [/mm] X$.
Eine (offene) Umgebungsbasis von [mm] $\infty$ [/mm] wird somit durch
[mm] $\{X' \setminus K\, : \, K \subset X \, , \, K \ \mbox{kompakt}\}$ [/mm]
gegeben.
Nun zu deiner Aufgabe:
> 1) X ist genau dann ein dichter Teilraum von X`, wenn X
> nicht quasikompakt ist.
$X$ ist genau dann ein dichter Teilraum von $X'$, wenn in jeder Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] auch Elemente aus $X$ liegen, also -unter Beachtung der oben erläuterten Topologie- genau dann, wenn für alle kompakten Teilmenge $K$ von $X$ gilt:
(*) $X [mm] \cap [/mm] (X' [mm] \setminus [/mm] K) [mm] \ne \emptyset$.
[/mm]
Offenbar ist das genau dann der Fall, wenn $X$ selber nicht kompakt ist, da (*) nur für $K=X$ nicht erfüllt sein kann.
> 2) X`ist kein T2- Raum, wenn X nicht lokal kompakt ist.
Wenn $X$ nicht lokal kompakt ist, dann gibt es einen Punkt $x [mm] \in [/mm] X$, der keine kompakte Umgebung besitzt. Es gibt also ein $x [mm] \in [/mm] X$, für das
$x [mm] \notin [/mm] K$,
also:
$x [mm] \in [/mm] X' [mm] \setminus [/mm] K$
für alle kompakten Teilmengen $K [mm] \subset [/mm] X$ gilt.
Somit liegt dieses $x$ in allen Umgebungen von [mm] $\infty$, [/mm] d.h. die beiden Punkte $x$ und [mm] $\infty$ [/mm] lassen sich nicht trennen. Daher ist $X'$ nicht $T2$.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Melde dich bei Fragen einfach wieder. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 16.06.2004 | | Autor: | mori |
hallo stefan.
erst einmal vielen dank für die schnelle und ausführliche antwort. ich habe sogar einen großteil verstanden!
aber noch eine frage:
ich verstehe nicht, wie man auf die konstruktion der topologie in X` kommt, wieso müssen da die komplemente von kompakten teilmengen aus X drin sein?
dann ergibt sich für mich noch die frage, weshalb in der topologie auf X` die Mengen [mm]X \setminus K[/mm] drin sind und nicht die Mengen
X`[mm] \setminus K[/mm](oder macht das keinen großen unterschied)?
viele grüße
mori
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