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| Aufgabe | Ist Y [mm] \subset [/mm] X, so erhält Y eine Topologie (die Teilraumtopologie) indem man [mm] \tau_y [/mm] = [mm] \{ U \cap Y : U \in \tau\}
[/mm]
wobein [mm] \tau \subseteq P(x)=2^x [/mm] Menge von Teilmengen von X, die offen genannt werden. |
Hallo,
Das war ein Bsp. in meiner Vorlesung.
Ich wollte fragen, wie man das nachrechnet, dass es sich um eine Topolgie handelt.
Ich hatte die bedingungen:
1) Leere Menge, X [mm] \in \tau
[/mm]
2) [mm] \tau [/mm] abgeschlossen unter der Bildung von vereinigungen
[mm] U_\alpha \in \tau
[/mm]
=> [mm] \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha \in \tau
[/mm]
3) Abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten
[mm] U_1 [/mm] , [mm] U_2 \in \tau [/mm] => [mm] U_1 \cap U_2 \in \tau
[/mm]
Wenn U und Y keine elemente gleich haben ist die leere Menge [mm] \in \tau_y.
[/mm]
Kann mir da vlt wer helfen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Do 04.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist Y [mm]\subset[/mm] X, so erhält Y eine Topologie (die
> Teilraumtopologie) indem man [mm]\tau_y[/mm] = [mm]\{ U \cap Y : U \in \tau\}[/mm]
>
> wobein [mm]\tau \subseteq P(x)=2^x[/mm] Menge von Teilmengen von X,
> die offen genannt werden.
> Hallo,
> Das war ein Bsp. in meiner Vorlesung.
> Ich wollte fragen, wie man das nachrechnet, dass es sich um
> eine Topolgie handelt.
>
> Ich hatte die bedingungen:
> 1) Leere Menge, X [mm]\in \tau[/mm]
> 2) [mm]\tau[/mm] abgeschlossen unter
> der Bildung von vereinigungen
> [mm]U_\alpha \in \tau[/mm]
> => [mm]\bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha \in \tau[/mm]
>
> 3) Abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten
> [mm]U_1[/mm] , [mm]U_2 \in \tau[/mm] => [mm]U_1 \cap U_2 \in \tau[/mm]
>
> Wenn U und Y keine elemente gleich haben ist die leere
> Menge [mm]\in \tau_y.[/mm]
> Kann mir da vlt wer helfen?
Es ist doch [mm] \emptyset \in \tau. [/mm] Dann ist doch auch [mm] \emptyset \in \tau_Y
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße
>
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Es gilt also [mm] \tau_y \subseteq \tau
[/mm]
Okay dann ist für mich Punkt 1) klar.
Kannst du mir vlt. für Punk 2) oder Punkt 3) zeigen, wie man diese Eigenschaften nachweist?
Zu Punkt 2)
x [mm] \in \bigcup_{\alpha \in A}U_\alpha, [/mm] d.h. [mm] \exists \alpha [/mm] mit x [mm] \in U_\alpha
[/mm]
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Do 04.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Zu Punkt 2: [mm] $\tau_y$ [/mm] ist unter beliebiger Vereinigung abgeschlossen:
Sei [mm] $V=\bigcup V_\alpha$ [/mm] mit [mm] $V_a\in\tau_y$. [/mm] Dann gibt es [mm] $U_\alpha\in \tau_x$ [/mm] mit [mm] $V_\alpha=U_\alpha\cap [/mm] Y$. Setze [mm] $U=\bigcup U_\alpha$. [/mm] Es ist [mm] $U\in\tau_x$ [/mm] und [mm] $V=U\cap [/mm] Y$, also [mm] $V\in \tau_y$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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Hallo,
danke für die Antwort.
> Es ist $ [mm] U\in\tau_x [/mm] $ und $ [mm] V=U\cap [/mm] Y $, also $ [mm] V\in \tau_y [/mm] $.
Hier steige ich aus, kannst du mir das ab hier nochmal erklären?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo theresetom,
> > Es ist [mm]U\in\tau_x[/mm] und [mm]V=U\cap Y [/mm], also [mm]V\in \tau_y [/mm].
> Hier steige ich aus, kannst du mir das ab hier nochmal
> erklären?
Gerne.
$U$ liegt als Vereinigung der [mm] $U_\alpha$, [/mm] die alle in [mm] $\tau_x$ [/mm] liegen, ebenfalls in [mm] $\tau_x\;.$
[/mm]
Nun ist [mm] $V=\bigcup(U_\alpha \cap Y)=\left(\bigcup U_\alpha\right)\cap Y=U\cap [/mm] Y$ und wegen [mm] $U\in\tau_x$ [/mm] liegt $V$ laut Definition in [mm] $\tau_y$.
[/mm]
liebe Grüße,
Wolfgang
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hallo,
danke ich habe es verstanden ;))
Ich habe iii) versucht:
Kannst du es bitte überprüfen?
zu iii)
[mm] \tau_y [/mm] unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen
[mm] U_1 \in \tau_y [/mm]
[mm] U_2 \in \tau_y
[/mm]
ZuZeigen: [mm] U_1 \cap U_2 \in \tau_y
[/mm]
[mm] \exists V_1 \in \tau_x [/mm] : [mm] U_1 [/mm] = [mm] V_1 \cap [/mm] Y
[mm] \exists V_2 \in \tau_x [/mm] : [mm] U_2 [/mm] = [mm] V_2 \cap [/mm] Y
[mm] U_1 \cap U_2 =(V_1 \cap [/mm] Y) [mm] \cap (V_2 \cap [/mm] Y)=( [mm] V_1 \cap V_2) \cap [/mm] Y
-> nach definition [mm] U_1 \cap U_2 \in \tau_y
[/mm]
-> mit Induktion ausdehenen auf endliche Faktoren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 11.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
> danke ich habe es verstanden ;))
> Ich habe iii) versucht:
> Kannst du es bitte überprüfen?
> zu iii)
> [mm]\tau_y[/mm] unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen
> [mm]U_1 \in \tau_y[/mm]
> [mm]U_2 \in \tau_y[/mm]
> ZuZeigen: [mm]U_1 \cap U_2 \in \tau_y[/mm]
> [mm]\exists V_1 \in \tau_x[/mm]
> : [mm]U_1[/mm] = [mm]V_1 \cap[/mm] Y
> [mm]\exists V_2 \in \tau_x[/mm] : [mm]U_2[/mm] = [mm]V_2 \cap[/mm] Y
>
> [mm]U_1 \cap U_2 =(V_1 \cap[/mm] Y) [mm]\cap (V_2 \cap[/mm] Y)=( [mm]V_1 \cap V_2) \cap[/mm]
> Y
> -> nach definition [mm]U_1 \cap U_2 \in \tau_y[/mm]
> -> mit
> Induktion ausdehenen auf endliche Faktoren.
... wenn Du meinst "auf endlich viele mengen", so stimmts
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Do 11.10.2012 | | Autor: | theresetom |
danke lg
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