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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Sei f: X --> Y stetig
a) Es sei X eine Menge. Beweisen Sie, dass es genau eine Topologie [mm] T_{x} [/mm] auf X gibt,
so dass für jeden topologischen Raum [mm] (Y,T_{y} [/mm] ) jede Abbildung f : X --> Y stetig ist.
b) Es sei Y eine Menge. Weisen Sie nach, dass es auf Y genau eine Topologie [mm] T_{y} [/mm] gibt,
so dass für jeden topologischen Raum [mm] (X,T_{x}) [/mm] jede Abbildung f : X --> Y stetig ist. |
Ich weiß, dass f stetig ist, wenn die Urbilder offener Mengen wieder offen sind.
Also wenn gilt : O [mm] \subset [/mm] Y dann [mm] f^{-1}(O) \subset [/mm] X
bzw. für alle O [mm] \in T_{y} [/mm] gilt [mm] f^{-1}(O) \in T_{x}.
[/mm]
Aber wie zeige ich, dass es nur eine Topologie [mm] T_{x} [/mm] auf X gibt so dass jeden Abbildung stetig ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Espe |
Erstmal : [mm] f^{-1}(O) \subset X [/mm] gilt immer, denn f bildet ja von X nach Y ab. Für Stetigkeit ist die zweite Bedingung, die du angeführt hast, die richtige.
Damit JEDE Funktion stetig ist, muss halt jedes beliebige Urbild einer offenen Menge aus Y offen in X sein. Ist das so gemeint ? Oder sollst du zu festen f eine Topologie auf X finden, so dass f stetig ist, bei vorgegebener Topologie auf Y ?
Im ersten Fall würd mir nur die diskrete Topologie einfallen, und man müsste sich überlegen warum es nur diese tut.
Im zweiten Fall müsstest du dir überlegen, ob die Menge [mm] {(f^{-1}(O) | O \in T_y)} [/mm] dir eine Topologie auf X liefert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Ayame |
Hallo :)
Danke für die schnelle antwort.
Nein, ich meine damit : f: X --> Y
Ich habe eine bestimmte Topologie [mm] T_{x} [/mm] sodass alle Abbildung nach [mm] T_{y} [/mm] stetig sind.
Dabei sind die Abbildungen und [mm] T_{y} [/mm] beliebig.
Ich hab schon etwas gelesen und hab herausgefunden dass wenn:
X die diskrete Topologie trägt dann sind alle (beliebigen) Abbildunge nach Y (das eine beliebige Topologie [mm] T_{y} [/mm] trägt) Stetig.
Kann ich dann einfach sagen, da die diskrete Topologie nur aus offenen Teilmengen besteht und da nur die Urbilder von offenen Mengen offen sind, ist meine Voraussetzung für die stetigkeit bewiesen ?
analog kann ich doch mit Y verfahren. Da definiere ich dann die indiskrete Topologie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Espe |
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> Kann ich dann einfach sagen, da die diskrete Topologie nur
> aus offenen Teilmengen besteht und da nur die Urbilder von
> offenen Mengen offen sind, ist meine Voraussetzung für die
> stetigkeit bewiesen ?
Erstmal grundsätzlich, und ich hoffe das kommt nicht klugscheisserisch rüber (Mathematik macht penibel :) ) :
Jede Topologie besteht nur aus offenen Mengen, das ist ja grad der Sinn einer Topologie : Dir zu definieren, was offen in deinem Raum heißt.
Ich hab mir die Aufgabenstellung nun nochmal genau angeschaut, und finde sie irgendwie immer noch ein wenig verwirrend. Es wird vorangestellt, dass f: X--> Y stetig ist (Ohne Angabe irgendwelcher Topologien, weshalb an sich gar nicht klar ist was stetig in diesem Moment meint, das is der für mich verwirrende Teil).
Ich glaube daher fast, dass meine Möglichkeit zwei damit gemeint ist : Du hast f vorgegeben, und sollst zu beliebigen Topologien [mm] T_Y [/mm] auf Y eine Topologie [mm] T_X [/mm] finden, so dass f stetig ist. Dies würde die angedeutete "Urbild-Topologie" leisten (so hieß die bei uns).
Sollte das NICHT der Fall sein, und es ist allen Ernstes die diskrete Topo gemeint, müsste man noch zeigen dass es NUR die diskrete tut, und nix anderes (es heißt ja genau eine !)
> analog kann ich doch mit Y verfahren. Da definiere ich dann
> die indiskrete Topologie.
Das nun wieder gesetzt den Fall, es ist so gemeint wie ich es anfangs dachte (Möglichkeit 1, falls das jetzt nicht zu verwirrend ist). Dürfte aber funktionieren, denn [mm] f^{-1}(Y) [/mm] = X in jedem Falle, und das ist ja dann neben der leeren Menge die einzige offene Menge die Y zu bieten hat. Und X ist in jeder Topologie offen nach Definition.
Ich hoffe ich hab dich nu nicht mehr verwirrt als das es geholfen hat. Ich fürchte am ehesten würde ich dir raten einfach nochmal zum Übungsleiter/Prof zu dackeln und zu fragen wie die Aufgabe denn nu genau gemeint ist, damit du genau weißt was zu tun ist.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:47 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Ayame |
Danke für deine Mühe :)
Ich hätte fern ab noch eine Frage.
Wenn Ich jetzt sage :
Ich habe zwei Topologien [mm] (X,T_{x}) [/mm] auf X und [mm] (Y,T_{y}) [/mm] auf Y.
Und ich habe meine Abbildung f: X --> Y
Und ich weiß : wenn [mm] (X,T_{x}) [/mm] distreke Topologie auf X ODER wenn [mm] (Y,T_{y}) [/mm] indiskrete Topologie auf Y ist , dann ist auch f stetig.
Wie ich das Beweise weiß ich.
Aber wie kann ich zeigen dass es nur diese zwei Arten von Topologien gibt so das dies gilt.
Also das ich ausschließe das es noch eine 3te Topologie auf X oder Y gibt, durch die f stetig sein muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 16.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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