Total differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion $f(x,y)= [mm] \frac{x-y}{x+y}$ [/mm] ausserhalb der Geraden $y=-x$ total differenzierbar ist, berechnen Sie die totale Ableitung in diesen Punkten. |
Ich hab erstmal die partiellen Ableitungen gebildet:
[mm] \frac{\partial f}{\partial x} [/mm] = 0
[mm] \frac{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] -\frac{2x}{(x+y)^2}
[/mm]
Da diese existieren und stetig sind, ist $f$ total diffbar. Nun habe ich das versucht mit unserer Definition nachzurechnen:
Def: [mm] $f(\vec{x}+\vec{h}) [/mm] = [mm] f(\vec{x}) [/mm] + [mm] \nabla f(\vec{x})*\vec{h} [/mm] + [mm] o(\vec{h})$
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] $f(\vec{x}+\vec{h}) [/mm] = [mm] \frac{(\vec{x}+\vec{h})-(\vec{y}+\vec{h})}{(\vec{x}+\vec{h})+(\vec{y}+\vec{h}} [/mm] = [mm] \frac{\vec{x}+\vec{h}-\vec{y}-\vec{h})}{\vec{x}+\vec{h}+\vec{y}+\vec{h}} [/mm] = [mm] \frac{\vec{x}-\vec{y}}{\vec{x}+\vec{y}+2\vec{h}}$
[/mm]
Hier komme ich dann nicht weiter.
Frage: ist das was ich bis hier gemacht habe richtig? Sollte ich nicht mit der Defintion auch zeigen koennen dass die Funktion total differenzierbar ist? Wie berechne ich denn nun die totale Ableitung?
Gruss und Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 22.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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