Totale Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 So 18.05.2008 | | Autor: | MattiJo |
Hallo,
ich habe gerade ein Problem mit dem Verständnis von Funktionen mit mehreren Variablen. Bei Funktionen mit einer Variablen hatte ich nie Probleme, aber jetzt kommen die Funktionen mit mehreren: Partielle Ableitungen sind auch kein Problem --> funktioniert ja genau wie bisher bei meinen [mm] \IR \mapsto \IR [/mm] Funktionen.
Kann ich mir jetzt auch noch anschaulich vorstellen. Auch der Gradient, der einfach alle partiellen Ableitungen enthält, kann ich jetzt noch nachvollziehen.
Womit ich jetzt aber gar nichts anfangen kann, ist die totale Ableitung. Wie bilde ich die, und kann ich die mir irgendwie anschaulich vorstellen?
Und welche Rolle spielt das totale Differential dabei?
Brauche ich diese totale Ableitung bei den Extremwertaufgaben, oder die partielle (was sind jetzt denn überhaupt Minima/Maxima im Dreidimensionalen?
Vielleicht habt ihr gemerkt, ich tu mir eben beim Übergang vom zwei- ins dreidimensionale momentan recht schwer....
Deswegen bin ich für jede Hilfe dankbar ;)
Grüße, matti
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe gerade ein Problem mit dem Verständnis von
> Funktionen mit mehreren Variablen. Bei Funktionen mit einer
> Variablen hatte ich nie Probleme, aber jetzt kommen die
> Funktionen mit mehreren: Partielle Ableitungen sind auch
> kein Problem --> funktioniert ja genau wie bisher bei
> meinen [mm]\IR \mapsto \IR[/mm] Funktionen.
> Kann ich mir jetzt auch noch anschaulich vorstellen. Auch
> der Gradient, der einfach alle partiellen Ableitungen
> enthält, kann ich jetzt noch nachvollziehen.
> Womit ich jetzt aber gar nichts anfangen kann, ist die
> totale Ableitung. Wie bilde ich die, und kann ich die mir
> irgendwie anschaulich vorstellen?
> Und welche Rolle spielt das totale Differential dabei?
> Brauche ich diese totale Ableitung bei den
> Extremwertaufgaben, oder die partielle (was sind jetzt denn
> überhaupt Minima/Maxima im Dreidimensionalen?
> Vielleicht habt ihr gemerkt, ich tu mir eben beim Übergang
> vom zwei- ins dreidimensionale momentan recht schwer....
> Deswegen bin ich für jede Hilfe dankbar ;)
>
mal zur totalen ableitung: es ist ja so, dass diffbarkeit im grunde genommen bedeutet, dass eine abbildung (zb. eine funktion) sich durch eine lineare abbildung 'gut' lokal approximieren laesst. Im 1-dim. ist das die gute alte tangente.
die lineare abbildung, die diese approximation beschreibt, nennt man totale ableitung. im [mm] R^n [/mm] ist das eine matrix. das schoene ist nun, dass in den meisten faellen die partiellen ableitungen stetig sind. Dann ist naemlich die totale ableitung einfach die jakobi-matrix bzw. der gradient! dass man diese beiden begriffe trennt (also gradient und totale ableitung), liegt wohl daran, dass sich die beiden in bestimmten faellen (naemlich wenn die part. abl. in einem punkt NICHT stetig sind) unterscheiden koennen...
also:
gradient=vektor, der die part. ableitungen enthaelt
totale abl.=lin. abbildung zur approximation der abbildung (meistens=gradient)
gruss
matthias
> Grüße, matti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
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> ich habe gerade ein Problem mit dem Verständnis von
> Funktionen mit mehreren Variablen. Bei Funktionen mit einer
> Variablen hatte ich nie Probleme, aber jetzt kommen die
> Funktionen mit mehreren: Partielle Ableitungen sind auch
> kein Problem --> funktioniert ja genau wie bisher bei
> meinen [mm]\IR \mapsto \IR[/mm] Funktionen.
> Kann ich mir jetzt auch noch anschaulich vorstellen. Auch
> der Gradient, der einfach alle partiellen Ableitungen
> enthält, kann ich jetzt noch nachvollziehen.
> Womit ich jetzt aber gar nichts anfangen kann, ist die
> totale Ableitung. Wie bilde ich die, und kann ich die mir
> irgendwie anschaulich vorstellen?
Die totale Ableitung im Punkt [mm] x_0 [/mm] ist einfach die Approximation der Funktion durch eine lineare Funktion im Punkt [mm] x_0. [/mm] Im Eindimensionalen war das die Tangente. Im Mehrdimensionalen sind das Matrizen (in LinAlg hattet ihr doch, dass sich jede lineare Abbildung durch eine Matrix darstellen lässt) - die Ableitung im Eindimensionalen im Punkt [mm] x_0 [/mm] ist ja bloß eine Zahl, welche man ja auch als [mm]1\times 1[/mm] Matrix sich vorstellen kann.
Und diese Matrix wird auch ![[]](/images/popup.gif) Jacobi-Matrix genannt. Um sie aufzustellen musst du einfach alle partiellen Ableitungen der einzelnen Komponentenfunktionen bilden.
> Und welche Rolle spielt das totale Differential dabei?
Totales Differential ist dasselbe wie die Jacobi-Matrix. Zumindest kenn' ich da keinen Unterschied.
> Brauche ich diese totale Ableitung bei den
> Extremwertaufgaben, oder die partielle (was sind jetzt denn
> überhaupt Minima/Maxima im Dreidimensionalen?
Anschaulich: Wenn der Graph einer Funktion wie ein Wok ausschaut, dann hat die Funktion "unten im Tal" ein Minimum.
> Vielleicht habt ihr gemerkt, ich tu mir eben beim Übergang
> vom zwei- ins dreidimensionale momentan recht schwer....
> Deswegen bin ich für jede Hilfe dankbar ;)
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> Grüße, matti
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