Totale Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 So 08.05.2011 | | Autor: | sarte |
| Aufgabe | | [mm] h(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3-x*y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{fuer } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{fuer } (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] |
Hey ich verzweifel gerade leicht, ich hoffe, dass einer von euch mir helfen kann...
Ich hab gezeigt, dass es bei (0,0) stetig und partiell differenzierbar ist.
Jetzt soll ich zeigen, dass es nicht total differnzierbar ist.
Von einer anderen Aufgabe bzw von der Vorlesung weiß ich, dass dies gilt:
[mm] h'(0,0)*\vec{v} [/mm] = 0 für alle [mm] \vec{v} \in \IR^2 [/mm] , [mm] |\vec{v} [/mm] | = 1
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*(1,1)
[/mm]
[mm] \bruch{\delta f}{\delta \vec{v}}(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{h((0,0) + t*\bruch{1}{\wurzel{2}}(1,1)) - h(0,0)}{t}
[/mm]
Jetzt kommt der Teil was ich nicht weiß...
ich würde einfach weiter machen mit:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta \vec{v}}(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{h((0,0) + t*\bruch{1}{\wurzel{2}}(1,1)) - h(0,0)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{h(\bruch{t}{\wurzel{2}},\bruch{t}{\wurzel{2}})) - 0}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{\bruch{0}{t^2}}{t} [/mm] = 0
Also würde es ja existieren?? Aber es soll ja nicht, irgendwas hab ich falsch gemacht, kann einer mir bitte helfen?
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mo 09.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]h(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3-x*y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{fuer } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{fuer } (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Hey ich verzweifel gerade leicht, ich hoffe, dass einer von
> euch mir helfen kann...
> Ich hab gezeigt, dass es bei (0,0) stetig und partiell
> differenzierbar ist.
> Jetzt soll ich zeigen, dass es nicht total differnzierbar
> ist.
> Von einer anderen Aufgabe bzw von der Vorlesung weiß ich,
> dass dies gilt:
>
> [mm]h'(0,0)*\vec{v}[/mm] = 0 für alle [mm]\vec{v} \in \IR^2[/mm] ,
Das ist doch Unsinn ! Wo hast Du das denn aufgeschnappt ?
> [mm]|\vec{v}[/mm] | = 1
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*(1,1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta \vec{v}}(0,0)[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{h((0,0) + t*\bruch{1}{\wurzel{2}}(1,1)) - h(0,0)}{t}[/mm]
>
> Jetzt kommt der Teil was ich nicht weiß...
> ich würde einfach weiter machen mit:
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta \vec{v}}(0,0)[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{h((0,0) + t*\bruch{1}{\wurzel{2}}(1,1)) - h(0,0)}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{h(\bruch{t}{\wurzel{2}},\bruch{t}{\wurzel{2}})) - 0}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{\bruch{0}{t^2}}{t}[/mm] = 0
>
> Also würde es ja existieren??
Ja, die Richtungsableitung von h in (0,0) in Richtung
$ [mm] \vec{v} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}(1,1) [/mm] $ hat den Wert 0.
Wenn nun h in (0,0) total differenzierbar wäre, so müßte gelten:
$ 0= [mm] \bruch{\partial h}{\partial \vec{v}}(0,0)= [/mm] grad [mm] h(0,0)*\vec{v}= [/mm] (1,0)* [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\cdot{}(1,1)= \bruch{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
Widerspruch.
FRED
Aber es soll ja nicht,
> irgendwas hab ich falsch gemacht, kann einer mir bitte
> helfen?
>
> Philipp
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