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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Di 10.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei [mm] p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufäälig herausgegriffenen Kind um einen Jungen handelt, sei [mm] \bruch{12}{23}. [/mm] Für die Geschlechtszugehörigkeit verschiedener Kinder innerhalb einer Familie wird die Unabhängigkeitsannahme gemacht.
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kindern einer zufällig
ausgewählten Familie genau ein Junge ist?
b) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Junge
genau eine Schwester hat, falls es sich um eine Famile mt genau einem
Jungen handelt?
Hinweis: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}k*p^{k-1}=\bruch{1}{(1-p)^{2}} [/mm] für 0<p<1. |
Hallo Matheraum-Community,
der Ansatz aus der Musterlösung lautet wie folgt:
Seien A und [mm] B_{k}, [/mm] k=0,1,2,... die Ereignisse
A ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau einen Jungen
[mm] B_{k} [/mm] ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau k Kinder
Aus der Aufgabestellung folgen:
[mm] P(B_{k})=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k}, [/mm] k=0,1,...
[mm] P(A|B_{k})=k*\bruch{12}{23}*(\bruch{11}{23})^{k-1} [/mm] für [mm] k\ge1,
[/mm]
[mm] P(A|B_{0})=0
[/mm]
Meine Frage:
Wie genau stellt man hier die Wahrscheinlichkeit [mm] P(A|B_{k}) [/mm] auf? Möglicherweise eine banale Frage, aber ich kann vor allem nicht erkennen, woher die Basis [mm] \bruch{11}{23} [/mm] aus [mm] (\bruch{11}{23})^{k-1} [/mm] kommt.
Gruß, Marcel
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> Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
>
> Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
> ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei
> [mm]p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0.[/mm]
.... also [mm] p_k>0 [/mm] für alle [mm] k\in\IN
[/mm]
.... wieder so eine Aufgabe aus Phantasmanien ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig
> herausgegriffenen Kind um einen Jungen handelt, sei
> [mm]\bruch{12}{23}.[/mm] Für die Geschlechtszugehörigkeit
> verschiedener Kinder innerhalb einer Familie wird die
> Unabhängigkeitsannahme gemacht.
>
> a) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kindern einer
> zufällig
> ausgewählten Familie genau ein Junge ist?
>
> b) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür,
> dass der Junge
> genau eine Schwester hat, falls es sich um eine Famile mt
> genau einem
> Jungen handelt?
>
> Hinweis: [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}k*p^{k-1}=\bruch{1}{(1-p)^{2}}$ [/mm] für 0<p<1.
>
> der Ansatz aus der Musterlösung lautet wie folgt:
>
> Seien A und [mm]B_{k},[/mm] k=0,1,2,... die Ereignisse
>
> A ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau einen Jungen
>
> [mm] B_k [/mm] ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau k Kinder
>
> Aus der Aufgabestellung folgen:
>
> $\ [mm] P(B_{k})=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},$ [/mm] k=0,1,...
>
> $\ [mm] P(A|B_{k})=k*\bruch{12}{23}*(\bruch{11}{23})^{k-1}$ [/mm] für [mm] k\ge [/mm] 1
>
> $\ [mm] P(A|B_{0})=0$
[/mm]
>
>
> Meine Frage:
>
>
> Wie genau stellt man hier die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A|B_{k})[/mm]
> auf ? Möglicherweise eine banale Frage, aber ich kann vor
> allem nicht erkennen, woher die Basis [mm]\bruch{11}{23}[/mm] aus
> [mm](\bruch{11}{23})^{k-1}[/mm] kommt.
Hallo Marcel,
[mm] P(A|B_k) [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie,
die genau k Kinder hat, genau einen Jungen und k-1
Mädchen hat. Wegen [mm] P(Junge)=\bruch{12}{23} [/mm] ist [mm] P(Maedchen)=1-\bruch{12}{23}=\bruch{11}{23}
[/mm]
Der Faktor k in der Formel steht dafür, dass der Junge
das älteste, zweitälteste, ... , jüngste Kind sein kann.
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 10.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
> >
> > Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
> > ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei
> > [mm]p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0.[/mm]
>
> .... also [mm]p_k>0[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> .... wieder so eine Aufgabe aus Phantasmanien
>
Was meinst du damit? 
> > Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem
> zufällig
> > herausgegriffenen Kind um einen Jungen handelt, sei
> > [mm]\bruch{12}{23}.[/mm] Für die Geschlechtszugehörigkeit
> > verschiedener Kinder innerhalb einer Familie wird die
> > Unabhängigkeitsannahme gemacht.
> >
> > a) Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den Kindern einer
> > zufällig
> > ausgewählten Familie genau ein Junge ist?
> >
> > b) Wie groß ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür,
> > dass der Junge
> > genau eine Schwester hat, falls es sich um eine Famile mt
> > genau einem
> > Jungen handelt?
> >
> > Hinweis:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}k*p^{k-1}=\bruch{1}{(1-p)^{2}}[/mm] für
> 0<p<1.
> >
> > der Ansatz aus der Musterlösung lautet wie folgt:
> >
> > Seien A und [mm]B_{k},[/mm] k=0,1,2,... die Ereignisse
> >
> > A ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau einen
> Jungen
> >
> > [mm]B_k[/mm] ... eine zufällig ausgewählte Familie hat genau k
> Kinder
> >
> > Aus der Aufgabestellung folgen:
> >
> > [mm]\ P(B_{k})=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},[/mm] k=0,1,...
> >
> > [mm]\ P(A|B_{k})=k*\bruch{12}{23}*(\bruch{11}{23})^{k-1}[/mm] für
> [mm]k\ge[/mm] 1
> >
> > [mm]\ P(A|B_{0})=0[/mm]
> >
> >
> > Meine Frage:
> >
> >
> > Wie genau stellt man hier die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A|B_{k})[/mm]
> > auf ? Möglicherweise eine banale Frage, aber ich kann vor
> > allem nicht erkennen, woher die Basis [mm]\bruch{11}{23}[/mm] aus
> > [mm](\bruch{11}{23})^{k-1}[/mm] kommt.
>
>
>
> Hallo Marcel,
>
> [mm]P(A|B_k)[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie,
> die genau k Kinder hat, genau einen Jungen und k-1
> Mädchen hat. Wegen [mm]P(Junge)=\bruch{12}{23}[/mm] ist
> [mm]P(Maedchen)=1-\bruch{12}{23}=\bruch{11}{23}[/mm]
> Der Faktor k in der Formel steht dafür, dass der Junge
> das älteste, zweitälteste, ... , jüngste Kind sein kann.
>
>
> Gruß Al-Chw.
>
Hallo Al_Chw.
Vielen Dank, das hat mir etwas weitergeholfen.
Leider weiss ich aber noch immer nicht, mit Hilfe welcher Formel sich die drei Faktoren aus [mm] P(A|B_{k}) [/mm] zusammensetzen.
Wie kommt man hierbei auf (k-1)? Kommt es von dem Hinweis am Ende der Aufgabenstellung?
Gruß, Marcel
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> > > Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
> > >
> > > Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
> > > ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei
> > > [mm]p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0.[/mm]
> >
> > .... also [mm]p_k>0[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> > .... wieder so eine Aufgabe aus Phantasmanien
> Was meinst du damit?
Naja, meine Grosseltern väterlicherseits hatten 13 Kinder,
es gibt auch Familien mit über 20 Kindern, aber eine Familie
mit [mm] 10^{10} [/mm] Kindern gibt es definitiv nicht. Natürlich werden
auch die [mm] p_k [/mm] rasch sehr klein, aber sie werden nie Null.
> Leider weiss ich aber noch immer nicht, mit Hilfe welcher
> Formel sich die drei Faktoren aus [mm]P(A|B_{k})[/mm]
> zusammensetzen.
>
> Wie kommt man hierbei auf (k-1)? Kommt es von dem Hinweis
> am Ende der Aufgabenstellung?
Nein, den braucht man wohl erst später. Stell dir den
k-stufigen Binärbaum für die Geschlechter-Folge der
Kinder vor. Bei k=5 führen die Pfade
JMMMM
MJMMM
MMJMM
MMMJM
MMMMJ
zu einer Familie mit genau einem Jungen.
Der Pfad MMMJM hat die Wahrscheinlichkeit
[mm] \bruch{11}{23}*\bruch{11}{23}*\bruch{11}{23}*\bruch{12}{23}*\bruch{11}{23}=\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^4
[/mm]
Bei den anderen 4 Pfaden ergibt sich dasselbe
Produkt, zusammen also
$\ [mm] 5*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^4$
[/mm]
Bei einer Familie mit k Kindern ist
P(genau ein Junge und k-1 Maedchen )$\ \ =\ [mm] k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^{k-1}$
[/mm]
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 10.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > > > Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
> > > >
> > > > Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig
> > > > ausgewählte Familie genau k Kinder hat, sei
> > > > [mm]p_{k}=\bruch{1}{4}*(\bruch{3}{4})^{k},k\ge0.[/mm]
> > >
> > > .... also [mm]p_k>0[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
> > > .... wieder so eine Aufgabe aus Phantasmanien
>
> > Was meinst du damit?
>
> Naja, meine Grosseltern väterlicherseits hatten 13 Kinder,
> es gibt auch Familien mit über 20 Kindern, aber eine
> Familie
> mit [mm]10^{10}[/mm] Kindern gibt es definitiv nicht. Natürlich
> werden
> auch die [mm]p_k[/mm] rasch sehr klein, aber sie werden nie Null.
Okay
> > Leider weiss ich aber noch immer nicht, mit Hilfe welcher
> > Formel sich die drei Faktoren aus [mm]P(A|B_{k})[/mm]
> > zusammensetzen.
> >
> > Wie kommt man hierbei auf (k-1)? Kommt es von dem Hinweis
> > am Ende der Aufgabenstellung?
>
> Nein, den braucht man wohl erst später. Stell dir den
> k-stufigen Binärbaum für die Geschlechter-Folge der
> Kinder vor. Bei k=5 führen die Pfade
>
> JMMMM
> MJMMM
> MMJMM
> MMMJM
> MMMMJ
>
> zu einer Familie mit genau einem Jungen.
> Der Pfad MMMJM hat die Wahrscheinlichkeit
>
> [mm]\bruch{11}{23}*\bruch{11}{23}*\bruch{11}{23}*\bruch{12}{23}*\bruch{11}{23}=\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^4[/mm]
>
> Bei den anderen 4 Pfaden ergibt sich dasselbe
> Produkt, zusammen also
>
> [mm]\ 5*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^4[/mm]
>
> Bei einer Familie mit k Kindern ist
>
> P(genau ein Junge und k-1 Maedchen )[mm]\ \ =\ k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^k[/mm]
>
Hier hast du dann wohl versehentlich eine 1 vergessen
[mm] k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^{k-1}
[/mm]
Vielen Dank für die schöne Erklärung.
> LG
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> > P(genau ein Junge und k-1 Maedchen )[mm]\ \ =\ k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^k[/mm]
>
> Hier hast du dann wohl versehentlich eine 1 vergessen
klar - ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
> [mm]k*\bruch{12}{23}*\left(\bruch{11}{23}\right)^{k-1}[/mm]
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