Totales Differential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo.
Folgenden Term habe ich gegeben, welches ein totales Differential darstellt:
[mm] $\bruch{d}{dt} \left( \int \bruch{1}{2} (U(x) \* \rho(x,t)^2) dx \right)$.
[/mm]
Dabei ist $x [mm] \in \IR^d$ [/mm] und [mm] $\*$ [/mm] ist die Faltung in $x$.
Ich weiß jetzt nicht, wie ich das totale Differentiat berechnen soll. Folgende Formel habe ich auf Wikipedia gefunden:
[mm] $\bruch{d}{dt} [/mm] f(g(t), h(t)) = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} \bruch{dx}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} \bruch{dy}{dt}$
[/mm]
mit $g(t) = x$ und $h(t) = y$.
Folgendes habe ich mir überlegt.
Ich definiere mir
$f(U(t), [mm] \rho(t)) [/mm] := [mm] \int \bruch{1}{2} [/mm] (U(x) [mm] \* \rho(x,t)^2) [/mm] dx $
mit
$U(x) = v$ und [mm] $\rho(x,t) [/mm] = w$.
$U$ hängt ja aber gar nicht von $t$ ab. Das würde dann eben einfach rausfallen, oder?
Nach der Formel hätte ich dann
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial v} \bruch{dv}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial w} \bruch{dw}{dt}$, [/mm]
wobei
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial v} \bruch{dv}{dt} [/mm] = 0$ ist.
Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial w} \bruch{dw}{dt}$ [/mm] berechnen soll, da ich das $w$ eigentlich gar nicht gegeben habe.
Gibts zum totalen Differential auch noch andere Formeln? Muss ich den letzten Term so allgemein halten, wenn ich das $w$ nicht gegeben habe?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 24.06.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo.
>
> Folgenden Term habe ich gegeben, welches ein totales
> Differential darstellt:
>
> [mm]\bruch{d}{dt} \left( \int \bruch{1}{2} (U(x) \* \rho(x,t)^2) dx \right)[/mm].
Eine totale Ableitung, würde ich eher sagen.
>
> Dabei ist [mm]x \in \IR^d[/mm] und [mm]\*[/mm] ist die Faltung in [mm]x[/mm].
>
> Ich weiß jetzt nicht, wie ich das totale Differentiat
> berechnen soll. Folgende Formel habe ich auf Wikipedia
> gefunden:
>
> [mm]\bruch{d}{dt} f(g(t), h(t)) = \bruch{\partial f}{\partial x} \bruch{dx}{dt} + \bruch{\partial f}{\partial y} \bruch{dy}{dt}[/mm]
Nein, es handelt sich hier um ein ![[]](/images/popup.gif) Parameterintegral:
[mm]\bruch{d}{dt} \left( \int \bruch{1}{2} (U(x) \* \rho(x,t)^2) dx \right)
= \bruch{1}{2} \integral \bruch{\partial}{\partial t} \left (U(x) \* \rho(x,t)^2\right) dx [/mm] .
Du musst also den Integranden partiell nach t ableiten:
[mm] \bruch{\partial}{\partial t} \left (U(x) \* \rho(x,t)^2\right)
= \bruch{\partial}{\partial t} \integral \left(U(y) \rho(x-y,t)^2\right) dy [/mm] ,
also wieder ein Parameterintegral:
[mm] = \integral \bruch{\partial}{\partial t} \left(U(y) \rho(x-y,t)^2\right) dy [/mm]
[mm] = \integral U(y) \bruch{\partial}{\partial t} (\rho(x-y,t)^2) dy [/mm] .
Jetzt hast du deine übliche Ableitung von [mm] $\rho$ [/mm] nach dem zweiten Argument.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Wieso ist denn das ein Parameterintegral? Ich habe mal in Wikipedia geschaut, da steht:
"Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt."
Aber das ist doch meistens so, dass der Integrand von einem Parameter abhängt, wenn dieser nicht konstant ist.
Und wieso darf ich dann die totale Ableitung ins Integral hineinziehen, welche dann zu einer partiellen Ableitung wird? In Wikipedia sind beides partielle Ableitungen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mi 25.06.2014 | | Autor: | hippias |
Nur eine kleine, aber ich glaube ganz wichtige Anmerkung: ich wuerde in einem Lehrbuch zur Analysis nachschauen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:14 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wieso ist denn das ein Parameterintegral? Ich habe mal in
> Wikipedia geschaut, da steht:
> "Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral
> bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter
> abhängt."
Offenbar hast Du genau an dieser Stelle aufgehört den Wiki-Artikel weiter zu lesen.
Lies mal weiter, dann werden sich die unten stehenden FRagen klären
FRED
>
> Aber das ist doch meistens so, dass der Integrand von einem
> Parameter abhängt, wenn dieser nicht konstant ist.
> Und wieso darf ich dann die totale Ableitung ins Integral
> hineinziehen, welche dann zu einer partiellen Ableitung
> wird? In Wikipedia sind beides partielle Ableitungen.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Do 26.06.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wieso ist denn das ein Parameterintegral? Ich habe mal in
> Wikipedia geschaut, da steht:
> "Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral
> bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter
> abhängt."
>
> Aber das ist doch meistens so, dass der Integrand von einem
> Parameter abhängt, wenn dieser nicht konstant ist.
Nein. Du verwechselst Parameter und Integrationsvariable. t ist der Parameter.
> Und wieso darf ich dann die totale Ableitung ins Integral
> hineinziehen, welche dann zu einer partiellen Ableitung
> wird? In Wikipedia sind beides partielle Ableitungen.
Ja, das bestätigt mal wieder meine Meinung, dass die deutsche Wikipedia nicht so präzise in den mathematischen Details ist wie die englische. Sieh hier, hier, oder besser, wie hippias schon schrieb, in einem Lehrbuch.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Ok, ich habe jetzt verstanden, was ein Parameterintegral. Bei mir ist es eines, da, wenn ich
$F(t) := [mm] \int \bruch{1}{2} [/mm] (U(x) [mm] \* \rho^2(x,t)) [/mm] dx$
betrachte, $F$ eben nur noch von $t$ abhängt, obwohl im Integral $x$ und $t$ stehen. $t$ ist dann mein Parameter, $x$ wird herausintegriert.
Also gilt, wie Du sagtest,
$ [mm] \bruch{d}{dt} \int \bruch{1}{2} [/mm] (U(x) [mm] \* \rho^2(x,t)) [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \int \bruch{\partial}{\partial t} [/mm] (U(x) [mm] \* \rho^2(x,t)) [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \int \bruch{\partial}{\partial t} \left( \int (U(y) \rho^2(x-y,t)) dy \right) [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \int \left( \int U(y) \bruch{\partial}{\partial t}\left(\rho^2(x-y,t)\right) dy \right) [/mm] dx. $
Ich bin mir jetzt nicht sicher. Gilt weiter folgendes:
[mm] $\bruch{1}{2} \int \left( \int U(y) \bruch{\partial}{\partial t}\left(\rho^2(x-y,t)\right) dy \right) [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \int \left( \int U(y) 2\rho(x-y,t)\bruch{\partial}{\partial t}(\rho(x-y,t)) dy \right) [/mm] dx = [mm] \int \left( \int U(y) \rho(x-y,t)\bruch{\partial}{\partial t}(\rho(x-y,t)) dy \right) [/mm] dx $
$= [mm] \int [/mm] U(x) [mm] \* \left( \rho(x,t)\bruch{\partial}{\partial t}(\rho(x,t)) \right) [/mm] dx $?
Ich hätte nämlich gerne
$ [mm] \int \bruch{\partial}{\partial t}(\rho(x,t)) \cdot \left( U(x) \* \rho(x,t) \right) [/mm] dx $
erhalten, aber ich kann leider $ [mm] \bruch{\partial}{\partial t}(\rho(x,t))$ [/mm] aus der Faltung nicht herausziehen.
Zudem möchte ich gerne einen zweiten Weg mittels der totalen Ableitung vorstellen und fragen, ob das in Ordnung ist und wo gegebenfalls Fehler sind.
Ich definiere als erstes
$G(U, [mm] \rho) [/mm] := [mm] \int \bruch{1}{2} [/mm] (U(x) [mm] \* \rho^2(x,t)) [/mm] dx$.
Die totale Ableitung ziehe ich als erstes ins Integral:
[mm] $\bruch{d}{dt} \int \bruch{1}{2} [/mm] (U(x) [mm] \* \rho^2(x,t)) [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \int \bruch{d}{dt} [/mm] (U(x) [mm] \* \rho^2(x,t)) [/mm] dx$.
Mithilfe der totalen Ableitung folgt nun
$ [mm] \bruch{1}{2} \int \bruch{d}{dt} [/mm] G dx = [mm] \bruch{1}{2} \int \left( \bruch{\partial G}{\partial U}\bruch{d U}{d t} + \bruch{\partial G}{\partial \rho}\bruch{d \rho}{d t} \right) [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \int \left( \bruch{\partial G}{\partial \rho}\bruch{d \rho}{d t} \right) [/mm] dx $,
da [mm] $\bruch{d U}{d t} [/mm] = 0$.
Wenden wir nochmals die totale Ableitung auf [mm] $\bruch{d \rho}{d t}$ [/mm] an, folgt
[mm] $\bruch{d \rho}{d t} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \rho}{\partial t} [/mm] + [mm] \bruch{\partial \rho}{\partial x} \bruch{dx}{d t} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \rho}{\partial t} [/mm] $
da [mm] $\bruch{dx}{d t} [/mm] = 0$.
Damit folgt
[mm] $\bruch{1}{2} \int \left( \bruch{\partial G}{\partial \rho}\bruch{d\rho}{d t} \right) [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \int [/mm] 2 [mm] \left( U(x) \* \rho(x,t) \right) \cdot \bruch{\partial \rho}{\partial t} [/mm] dx = [mm] \int \left( U(x) \* \rho(x,t) \right) \cdot \bruch{\partial \rho}{\partial t} [/mm] dx$
und ich hätte mein gewünschtes Ergebnis. Ich kann leider keinen Fehler erkennen. Ich hoffe, ich habe niemanden mit den Formeln erschlagen, habe mir aber Mühe gegeben, das sauber aufzuschreiben. Hoffe auf baldige Hilfe  .
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Do 26.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Herleitung ist recht umstandlich, un [mm] U(x)*p^2(x,t) [/mm] abzuleiten hast du doch einfach [mm] U(x)*2p(x,t)*\partial p/\partial [/mm] t
also ist dein Endergebnis richtig
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Mir gings ja auch darum, ob ich die [mm] $\bruch{\partial \rho}{\partial t}$ [/mm] aus der Faltung dann herausziehen kann.
Zudem hatte ich ja zwei Endergebnisse, welche unterschiedlich waren. Auf welches beziehst Du Dich?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Do 26.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus der Faltung bzw. dem Integral kannst du nichts rausziehen,. ich bezog mich auf das letzte Ergebnis im post, das ist richtig.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Wieso komme ich aber auf zwei unterschiedliche Ergebnisse, die müssten doch gleich sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 03.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Bitte nochmals um Beantwortung meiner letzten Frage . Das ist total wichtig.
|
|
|
|
