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Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
"Gegeben ist die Funktion
u= f(x,y,z)= x(hoch2) + 3xy - 2 y(hoch2) + 3xz + z(hoch2)
a)
Berechne mit Hilfe des totalen Differentials am Punkt xo= (2; 1; 3) näherungsweise die Funktionsänderung beim Übergang zum Punkt x1= (1; 2; 2) und vergleiche das Ergebnis mit der tatsächlichen Funktionsänderung.
b)
Durch das Definitionsgebiet laufe eine Kurve (Gerade) mit der Parameterdarstellung
x(t)= (1+t; 2t; 0).
An welchem Punkt der Kurve durchläuft der Funktionswert ein lokales Extremum?
"
Mein Lösungsvorschlag zu a) wäre:
Normalvektor bestimmen durch x1-x0, dann die Richtungsableitung bilden und damit die Gleichung zur Tangentialebene aufstellen. Wie bekomme ich aber eine näherungsweise und eine tatsächliche Funktionsänderung??
zu b) bin ich leider völlig ratlos :-(
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.htwm.de/~mathe/forum/viewtopic.php?t=268
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mo 28.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Julia
Das Totale Differenzial eine Funktion $f(x,y,z)$ von drei Variablen ist:
[mm] $df=f_x dx+f_y dy+f_z dz=\vektor{f_x \\ f_y \\ f_z}\vektor{dx \\ dy \\ dz}.$
[/mm]
df ist als ungefähre Aenderung des Funktionswertes zu interpretieren, wenn x um dx, y um dy und z um dz ändert.
zu a)
In deinem Fall gilt ausgehend von [mm] $x_0$: $\vektor{dx \\ dy \\ dz}=\vektor{-1 \\ 1 \\ -1}$ [/mm] (einfach die Differenz [mm] $x_1-x_0$). [/mm] Die Ableitungen sind bei [mm] $x_0$ [/mm] zu nehmen.
Jetzt ist df mit der Differenz [mm] $f(x_1)-f(x_0)$ [/mm] zu vergleichen. Denn für "kleine Differenzen" dx, dy, dz sollten diese beiden Zahlen ungefähr gleich sein.
zu b)
Einfach in der Funktion x=1+t, y=2t und z=0 ersetzen. Das gibt dann eine Funktion, die nur noch von der Variablen t abhängt. Dann Minimum und Maximum wie gewohnt bestimmen.
mfG Moudi
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Hallo Moudi!
Erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Ich habe die Funktionsänderung nun näherungsweise errechnet mit dem totalen Differential. Dazu habe ich die Funktion nach x, y und z abgeleitet und in diese Ableitungen den Punkt (-1, 1, -1) eingesetzt. Dann komme ich auf den Vektor (-2, -7, -5).
Jetzt muß ich doch diese Punkte (-2, -7, -5) in die Stammfunktion einsetzen und bekomme den Funktionswert näherungsweise (hier ist der Funktionswert= 3), oder?
Zur Berechnung der tatsächlichen Funktionsänderung habe ich x1 und x0 in die Stammfunktion eingesetzt und die Differenz von f(x1)-f(x0) errechnet. Dabei komme ich aber auf einen Wert von -26.
Habe ich das so richtig gemacht? Denn die beiden Zahlen sind ja ziemlich verschieden.
zu b)
Die Geradengleichung lautet y=2x-2, wenn ich x in y einsetze. Dann liegt ein Extremum also nach Bildung der 1. Ableitung ý=2x im Punkt (0, -2) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Julia
nach meiner Berechnung hat der Gradient der Funktion diese Gestalt:
[mm] $\vektor{2x+3y+3z\\3x-4y\\3x+2z}$
[/mm]
Wenn du dazu den Wert (x,y,z)=(2,1,3) einsetzt, ergibt sich:
[mm] $\vektor{14\\2\\12}$
[/mm]
Der Differenzenvektor, der also vom Punkt
[mm] $\vektor{2\\1\\3}$ [/mm] zum Punkt [mm] $\vektor{1\\2\\2}$ [/mm] zeigt, ist dieser:
[mm] $\vektor{-1\\1\\-1}$
[/mm]
Der Funktionsunterschied berechnet sich ja als Skalarprodukt des Gradienten mit diesem Vektor (wird dann als totales Differential bezeichnet):
[mm] $\vektor{14\\2\\12}*\vektor{-1\\1\\-1}=-14+2-12=-24$
[/mm]
Wenn mich meine Rechenkünste nicht wie allzuoft im Stich lassen, dann ist f(2,1,3)=35, und f(1,2,2)=9. Dies ergibt einen Unterschied von -26.
Dies ist doch im Vergleich zum Totalen Differential (-24) doch gar nicht so übel, oder? 
Anders Ausgedrückt: der Funktonswert mit Hilfe des Totalen Differential berechnet ergibt 35-24=11, exakt berechnet ist er aber 9. 
Mit lieben Grüsen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 28.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Julia
zu b) [mm] $f(x,y,z)=x^2+3xy-2y^2+3xz+z^2$. [/mm] Dann sind ja die Funktionswerte auf der Gerade g mit der Parameterdarstellung: [mm] $\vektor{1+t \\ 2t \\ 0}$ [/mm] gefragt. Ich setze also die Parameterdarstellung in die Funktion ein:
$f(1+t,2t,0)= [mm] -t^2+8t+1=\tilde [/mm] f(t)$. (Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel, die Funktion [mm] $\tilde [/mm] f(t)$ besitzt daher nur ein Maximum und kein Minimum).
Berechne [mm] $\tilde [/mm] f'(t)=-2t+8=0$ daraus folgt t=4. Also Maximum bei t=4.
Die Funktion eingeschränkt auf die Gerade besitzt das Maximum bei P(5,8,0) (entspricht dem Parameterwert t=4). Der Funktionswert ist [mm] $f(P)=f(5,8,0)=\tilde [/mm] f(4)=17$.
mfG Moudi
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