Träger, Symmetrische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Mo 27.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Menge X und die symmetrische Gruppe Sym(X). Der Träger einer Permutation [mm] $\sigma\in\sym(X)$ [/mm] ist definiert wie [mm] folgt:$supp(\sigma):=\{x\in X|\sigma(x)\neq x\}$. [/mm] Zeigen Sie:
I) Wenn [mm] $supp(\rho)\cap supp(\sigma)=\emptyset$, [/mm] dann gilt [mm] \sigma\circ\rho=\rho\circ\sigma
[/mm]
II) Wenn [mm] $supp(\rho)\cap supp(\sigma)=\emptyset$ [/mm] und [mm] $\rho\circ\sigma=id$, [/mm] dann [mm] $\rho=\sigma=id$ [/mm] |
Hi,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe und komme irgendwie nicht dahinter was hier
[mm] $supp(\rho)\cap supp(\sigma)=\emptyset$ [/mm] bedeuten soll.
Es ist ja [mm] $supp(\sigma):=\{x\in X|\sigma(x)\neq x\}$
[/mm]
Also die Menge aller bijektiven Abbildungen ohne Fixpunkt.
Wenn ich als Beispiel [mm] $sym(\{1,2,3\})$ [/mm] nehme, dann wären dass
[mm] $\sigma_1(1)=2$
[/mm]
[mm] $\sigma_1(2)=3$
[/mm]
[mm] $\sigma_1(3)=1$
[/mm]
und
[mm] $\sigma_2(1)=3$
[/mm]
[mm] $\sigma_2(2)=1$
[/mm]
[mm] $\sigma_2(3)=2$
[/mm]
Bzw. (2 3 1) und (3 2 1) wenn ich mich gerade nicht in der Notation vertue.
Also wäre [mm] $supp(\sigma)=\{\sigma_1, \sigma_2\}$
[/mm]
Jetzt zu meinem Problem:
Wie ist dann [mm] $supp(\rho)\cap supp(\sigma)=\emptyset$
[/mm]
wenn ich jeweils die Träger über die selbe symmetrische Gruppe betrachte?
Die Mengen enthalten ja immer die gleichen Abbildungen, nur das sie im ersten Fall nun mal [mm] \rho [/mm] und im zweiten Fall [mm] \sigma [/mm] heißen, aber davon abgesehen enthalten sie die selben Abbildungen.
Also um bei obigen Beispiel zu bleiben:
[mm] $supp(\rho)=\{\rho_1,\rho_2\}$
[/mm]
und [mm] $supp(\sigma)=\{\sigma_1,\sigma_2\}
[/mm]
Wobei eben [mm] $\sigma_1$ [/mm] und [mm] $\rho_1$ [/mm] die selben Abbildungen sind, nur das sie anders "heißen".
[mm] $\sigma_1(1)=2$
[/mm]
[mm] $\sigma_1(2)=3$
[/mm]
[mm] $\sigma_1(3)=1$
[/mm]
[mm] $\rho_1(1)=2$
[/mm]
[mm] $\rho_1(2)=3$
[/mm]
[mm] $\rho_1(3)=1$
[/mm]
Ich verstehe dann nicht wieso der Schnitt leer sein soll. Denn die beiden Mengen enthalten ja die selben Elemente (nur das die Funktionen anders heißen). Und wenn die andere Bezeichnung der Funktionen schon ausschlaggebend dafür ist, dass es nicht die selben sind, dann macht es ja im Grunde keinen Sinn einen solchen Schnitt überhaupt zu betrachten, weil der Schnitt dann ja (aufgrund der anderen Bezeichnung der Funktion) immer leer wäre...
Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mich aufklären.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 Mo 27.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
>
> Hi,
>
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe und komme irgendwie
> nicht dahinter was hier
> [mm]supp(\rho)\cap supp(\sigma)=\emptyset[/mm] bedeuten soll.
>
> Es ist ja [mm]supp(\sigma):=\{x\in X|\sigma(x)\neq x\}[/mm]
>
> Also die Menge aller bijektiven Abbildungen ohne Fixpunkt.
Nein!
> Wenn ich als Beispiel [mm]sym(\{1,2,3\})[/mm] nehme, dann wären
> dass
>
> [mm]\sigma_1(1)=2[/mm]
> [mm]\sigma_1(2)=3[/mm]
> [mm]\sigma_1(3)=1[/mm]
>
> und
>
> [mm]\sigma_2(1)=3[/mm]
> [mm]\sigma_2(2)=1[/mm]
> [mm]\sigma_2(3)=2[/mm]
>
> Bzw. (2 3 1) und (3 2 1) wenn ich mich gerade nicht in der
> Notation vertue.
>
> Also wäre [mm]supp(\sigma)=\{\sigma_1, \sigma_2\}[/mm]
Ok, hier liegt wohl ein Missverständnis vor. Deine Abbildungen haben keine Fixpunkte, also sind die Träger [mm] $\{1,2,3\}.
[/mm]
[mm] $X\backslash supp(\sigma)$ [/mm] ist die Menge der Fixpunkte einer Permutation [mm] $\sigma$, [/mm] die Elemente von [mm] $supp(\sigma)$ [/mm] sind keine Abbildungen.
>
> Jetzt zu meinem Problem:
>
> Wie ist dann [mm]supp(\rho)\cap supp(\sigma)=\emptyset[/mm]
> wenn
> ich jeweils die Träger über die selbe symmetrische Gruppe
> betrachte?
> Die Mengen enthalten ja immer die gleichen Abbildungen,
> nur das sie im ersten Fall nun mal [mm]\rho[/mm] und im zweiten Fall
> [mm]\sigma[/mm] heißen, aber davon abgesehen enthalten sie die
> selben Abbildungen.
>
> Also um bei obigen Beispiel zu bleiben:
>
> [mm]supp(\rho)=\{\rho_1,\rho_2\}[/mm]
>
> und [mm]$supp(\sigma)=\{\sigma_1,\sigma_2\}[/mm]
>
> Wobei eben [mm]\sigma_1[/mm] und [mm]\rho_1[/mm] die selben Abbildungen sind,
> nur das sie anders "heißen".
>
> [mm]\sigma_1(1)=2[/mm]
> [mm]\sigma_1(2)=3[/mm]
> [mm]\sigma_1(3)=1[/mm]
>
> [mm]\rho_1(1)=2[/mm]
> [mm]\rho_1(2)=3[/mm]
> [mm]\rho_1(3)=1[/mm]
>
> Ich verstehe dann nicht wieso der Schnitt leer sein soll.
> Denn die beiden Mengen enthalten ja die selben Elemente
> (nur das die Funktionen anders heißen). Und wenn die
> andere Bezeichnung der Funktionen schon ausschlaggebend
> dafür ist, dass es nicht die selben sind, dann macht es ja
> im Grunde keinen Sinn einen solchen Schnitt überhaupt zu
> betrachten, weil der Schnitt dann ja (aufgrund der anderen
> Bezeichnung der Funktion) immer leer wäre...
>
> Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mich
> aufklären.
>
> Danke.
Ein Wort zum Beweis:
a) Betrachte 2 Fälle: 1. $x [mm] \in supp(\sigma)$, [/mm] 2. else.
Beachte $x [mm] \in supp(\sigma) \Rightarrow \rho(x)=x$ [/mm] und [mm] $\rho(supp(\rho))=supp(\rho)$, [/mm] analog für [mm] $\sigma$.
[/mm]
b) Zeige: [mm] $\rho(x)\neq [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in supp(\rho)\cap supp(\sigma) [/mm] $
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mo 27.10.2014 | | Autor: | YuSul |
was sind dann die Elemente dieser Menge?
Sind es die Funktionswerte der Abbildungen die keinen Fixpunkt haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mo 27.10.2014 | | Autor: | andyv |
Nein, $ [mm] X\backslash supp(\sigma) [/mm] $ ist die Menge der Fixpunkte von [mm] $\sigma$. [/mm] Demnach ist [mm] $supp(\sigma)$ [/mm] die Menge der Nichtfixpunkte von [mm] $\sigma$, [/mm] wenn man das so nennen will.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 27.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Achso, dann ist [mm] $\sigma$ [/mm] also eine beliebige bijektive Abbildung aus Sym(X) und [mm] $supp(\sigma)$ [/mm] die Menge aller "nicht Fixpunkte".
Ah, ok.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mo 27.10.2014 | | Autor: | andyv |
Genau.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 28.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hätte doch noch eine Frage zu dieser Menge.
Wenn ich noch einmal die bijektive Abbildung [mm] $\sigma_1$
[/mm]
aus meinem ersten Beispiel nehme, wäre dann
[mm] $supp(\sigma_1)=\{1,2,3\}$
[/mm]
oder [mm] $supp(\sigma_1)=\{\sigma_1(1),\sigma_1(2),\sigma_1(3)\}$
[/mm]
Wenn der Schnitt zweier Träger leer ist, dann müssen ja auch schon die Funktionen [mm] $\rho$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] verschieden sein, sonst macht es ja keinen Sinn.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Di 28.10.2014 | | Autor: | andyv |
> Ich hätte doch noch eine Frage zu dieser Menge.
>
> Wenn ich noch einmal die bijektive Abbildung [mm]\sigma_1[/mm]
> aus meinem ersten Beispiel nehme, wäre dann
>
> [mm]supp(\sigma_1)=\{1,2,3\}[/mm]
>
> oder
> [mm]supp(\sigma_1)=\{\sigma_1(1),\sigma_1(2),\sigma_1(3)\}[/mm]
Das sind dieselben Mengen, beides ist richtig.
> Wenn der Schnitt zweier Träger leer ist, dann müssen ja
> auch schon die Funktionen [mm]\rho[/mm] und [mm]\sigma[/mm] verschieden sein,
> sonst macht es ja keinen Sinn.
Nein, die Träger können auch selber leer sein, vgl. Aufgabenteil II).
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Di 28.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, hast recht.
Vielen Dank.
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