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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Trägheitssatz von Sylvester
Trägheitssatz von Sylvester < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Trägheitssatz von Sylvester: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Di 24.05.2005
Autor: DerMathematiker

Ich soll die Normalgestalt nach dem Trägheitssatz von Sylvester von folgenden Matrizen bestimmen:

[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 1} [/mm]

und von

[mm] \pmat{ -2 & 1+i & 0 \\ 1-i & 0 & -1+i \\ 0 & -1-i & 2} [/mm]

Kann mir jemand sagen wie man da vorgehen muss?

Der Trägheitssatz ist mir bekannt, weiß aber nicht wie ich auf diese Diagonalform mit p 1en und q -1en erreichen soll.

MfG Andi

        
Bezug
Trägheitssatz von Sylvester: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Di 24.05.2005
Autor: banachella

Hallo!

Der Weg ist folgender: Da diese Matrizen hermitesch sind, gibt es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Du bestimmst also die Eigenwerte [mm] $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ [/mm] und Eigenvektoren [mm] $v_1,\dots,v_n$ [/mm] von A. Dann bildest du [mm] $\tilde v_k:=\bruch{v_k}{\sqrt{\lambda_k}}$ [/mm] und setzt [mm] $S:=(\tilde v_1|\dots|\tilde v_n)$. [/mm] Dann ist [mm] $S^T [/mm] AS$ gerade die Normalform, die du suchst...

Gruß, banachella

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