www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Trafo-Satz
Trafo-Satz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Trafo-Satz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 So 13.07.2014
Autor: questionpeter

Aufgabe
Berechne das Volumen des Körper, der von der Fläche
[mm] \bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{9}-z^2=1 [/mm] und von den Ebenen z=1 und z=-1 begrenz ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Moin,

Kann man jemand bei dieser Aufgabe helfen oder sagen wie man an besten an diese Aufgabe herangehen soll. Ich weiß dass man den Trafosatz anwenden muss, aber da liegt wahrscheinlich auch schon dass problem, dass ich nicht recht verstanden habe. kann mir den jemand evtl an einen leichteren Bsp erklären.

dankeschön.

gruß
questionpeter

        
Bezug
Trafo-Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 13.07.2014
Autor: fred97

Tipp: Prinzip von Cavalieri

FRED

Bezug
                
Bezug
Trafo-Satz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Mo 14.07.2014
Autor: questionpeter

Ich habe hier mal versucht dabei sei

[mm] A=\{(x,y,z)| \bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{9}-z^2=1}=\{(x,y,z)| -1 \le z\le 1, -3\wurzel{1+z^2}\le y \le 3\wurzel{1+z^2}, -2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2} \le x \le 2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}} [/mm]

dann erhalte

[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{\integral_{-2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}^{2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}{1 dx}dy} dz} [/mm]

[mm] =\integral_{-1}^{1}{(\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{4 \wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}dy}) dz} [/mm]

subtituiere [mm] u=\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2} \rightarrow [/mm] du= [mm] \bruch{-y}{9}\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}dy [/mm]

[mm] \integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{4 \wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}dy}=\integral_{a}^{b}{4u\cdot \bruch{-y}{9} \cdot \bruch{1}{u} du} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{-4y}{9} du} [/mm]

leider komme ich nicht weiter mit der substitution, da ein y steht, was nicht sein daarf. könnt ihr mir ein anderen verfahren zeigen sodass ich das intergral berechnen kann. aber ist bis jetzt was ich gemacht habe richtig ? ich bin für jede hilfe dankbar.

Bezug
                        
Bezug
Trafo-Satz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Mo 14.07.2014
Autor: rmix22


> dann erhalte
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{\integral_{-2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}^{2\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}{1 dx}dy} dz}[/mm]

Der Ansatz ist grundsätzlich richtig, aber etwas aufwändig zu berechnen.

>  
> [mm]=\integral_{-1}^{1}{(\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{4 \wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}dy}) dz}[/mm]
>  
> subtituiere [mm]u=\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2} \rightarrow[/mm]
> du=
> [mm]\bruch{-y}{9}\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}}dy[/mm]
>  
> [mm]\integral_{-3\wurzel{1+z^2}}^{3\wurzel{1+z^2}}{4 \wurzel{1-\bruch{y^2}{9}+z^2}dy}=\integral_{a}^{b}{4u\cdot \bruch{-y}{9} \cdot \bruch{1}{u} du}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{-4y}{9} du}[/mm]
>  
> leider komme ich nicht weiter mit der substitution, da ein
> y steht, was nicht sein daarf. könnt ihr mir ein anderen
> verfahren zeigen sodass ich das intergral berechnen kann.

Ja, deine Substitution ist hier nicht erfolgversprechend.
Denke an das Integral [mm] $\integral{\wurzel{1-x^2}dx}$, [/mm] hier solltest du zB mit $x=sin(u)$ substituieren und danach [mm] $cos^2(u)=\frac{1}{2}*\left({cos(2*u)+1}\right)$ [/mm] verwenden.
Deinen allgemeineren Integranden müsstest du also umformen auf [mm] $\wurzel{1-a*x^2}$ [/mm] und dann mit [mm] $x=\wurzel{a}*sin(u)$ [/mm] substituieren.
Aus Symmetriegründen könntest du die jeweils untere Integralgrenze mit 0 annehmen und dafür das Ergebnis jeweils mit 2 multipliziern, was das Einsetzen zum Schluß doch etwas erleichtern kann.

Aber es geht doch auch einfacher. Du hast ein einschaliges Hyperboloid dessen Schnitte mit Ebenen normal zur z-Achse ($z=const.$) Ellipsen sind: $ [mm] \bruch{x^2}{4}+\bruch{y^2}{9}=1+z^2 [/mm] $. Die halben Achsenlängen dieser Ellipsen sind [mm] $2*\wurzel{z^2+1}$ [/mm] und [mm] $3*\wurzel{z^2+1}$. [/mm] Die Fläche einer Ellipse ist bekanntermaßen das Produkt aus diesen beiden Halbachsenlängen und [mm] \pi. [/mm] Falls du diese Flächenformel verwenden darfst und nicht herleiten musst, gestaltet sich die Volumsberechnung denkbar einfach mit

[mm] $V=\integral_{-1}^{1}{\pi*6*\left({z^2+1}\right)}dz=12*\pi*\integral_{0}^{1}{\left({z^2+1}\right)}dz=\cdots=\underline{16*\pi} [/mm] $

Gruß RMix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de