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| Aufgabe | Seien [mm] $\mu, \nu$ [/mm] zwei Maße auf [mm] $(\Omega, \sA)$, [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] habe Dichte $f$ bzgl. [mm] $\mu$. [/mm] Sei [mm] $h:\Omega \to \IR$ [/mm] messbar. Dann gilt
[mm] $\int [/mm] |h| d [mm] \nu [/mm] < [mm] \infty \quad\gdw\quad \int [/mm] |h f| d [mm] \mu [/mm] < [mm] \infty$,
[/mm]
und im Falle, dass eine der Bedingungen erfüllt ist, folgt:
[mm] $\int [/mm] h d [mm] \nu [/mm] = [mm] \int [/mm] h f d [mm] \mu$. [/mm] |
Hallo,
ich habe nur eine kurze Frage zu diesem Satz.
Er wird ja üblicherweise mit maßtheoretischer Induktion bewiesen. Dort kommt man ohne Probleme bis einschließlich dem Schritt, dass die Aussage für messbare nichtnegative [mm] $h:\Omega \to \IR$ [/mm] gilt.
Ich sehe aber nicht, warum man für die Gleichheit die Integrierbarkeit von $h$ bzgl. [mm] $\nu$ [/mm] braucht?
Meiner Meinung nach genügt die Existenz des Integrals zu zeigen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Di 05.06.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
> Ich sehe aber nicht, warum man für die Gleichheit die
> Integrierbarkeit von [mm]h[/mm] bzgl. [mm]\nu[/mm] braucht?
> Meiner Meinung nach genügt die Existenz des Integrals zu
> zeigen.
Völlig richtig. Das linke Integral existiert (als Wert aus [mm] $\IR\cup\{-\infty,+\infty\}$) [/mm] genau dann, wenn das rechte Integral existiert. In diesem Fall stimmen die beiden Werte überein.
Viele Grüße
Tobias
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Danke Tobias 
Stefan
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