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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:39 Di 26.06.2012 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Es sei eine Rennstrecke gegeben. Der innere Rand der Straße habe die Paramtrisierung (in einem üblichen $(x,y)$-Koordinatensystem)
[mm] $$x_i(\varphi)=4\cos(\varphi), \;\;\;\; y_i(\varphi)=\sin(\varphi) \;\;\;\; 0\leq\varphi\leq [/mm] 2 [mm] \pi$$
[/mm]
und der äußere Rand der Straße habe die Parametrisierung
[mm] $$x_a(\varphi)=4,5\cos(\varphi), \;\;\;\; y_a(\varphi)=1,5\sin(\varphi) \;\;\;\; 0\leq\varphi\leq [/mm] 2 [mm] \pi$$
[/mm]
Eine Punktmasse (mit Masse gleich Eins) soll diese Rennstrecke so schnell wie möglich durchlaufen, dabei aber nicht aus der kurve getragen werden. Deshalb darf die Fliehkraft nirgendwo den Wert 4 übersteigen.
Finden Sie eine möglichst gute Bahnkurve. Der tatsächlich verwirklichte Wert für die Umlaufzeit ist als Zahl anzugeben. |
Guten Abend,
ich beschäftige mich zur Zeit mit dieser Aufgabe und weiß einfach nicht, wie ich Anfangen soll.
Ich denke ich muss hier mit Differentialgleichungen arbeiten.
Ich habe mir bisher überlegt, dass ja die Bahnkurve auf dem inneren Rand die kürzeste und damit auch die schnellste wäre.
Aber ich weiß schon mal nicht, wie ich diese innere Bahn berechnen soll, bzw, scheint mir das auch viel zu simpel dieser Ansatz.
Ich würde mich sehr über eure Tipps freuen.
Vielen Dank
HugATree
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Mi 27.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn da keine Beschränkung für die beschleunigung ist, würde ich mit Lichtgeschw. geradeaus, tangential an die innere ellipse ahren, in unglaublich kurzer zeit abbremsen, auf den inneren Scheitel zu und dann wieder auf der anderen seite dasselbe, also ein gestrecktes sechseck. dann hast du keine schwierigkeit mit den Krümmungen und der fliehkraft.
wie soll man eine Zeit angeben, wenn kene wirklichen längen da sind? oder ist v in längeneinheiten pro Zeiteinheit gegeben?
also gibt es noch Beschränkungen?
Gruss leduart
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo leduart,
vielen Dank für die schnelle Antwort! :)
> Hallo
> wenn da keine Beschränkung für die beschleunigung ist,
Nein, da hast du recht. Eine begrenzung für die Beschleunigung gibt es nicht!
> würde ich mit Lichtgeschw. geradeaus, tangential an die
> innere ellipse ahren, in unglaublich kurzer zeit abbremsen,
> auf den inneren Scheitel zu und dann wieder auf der anderen
> seite dasselbe, also ein gestrecktes sechseck. dann hast du
> keine schwierigkeit mit den Krümmungen und der
> fliehkraft.
> wie soll man eine Zeit angeben, wenn kene wirklichen
> längen da sind? oder ist v in längeneinheiten pro
> Zeiteinheit gegeben?
> also gibt es noch Beschränkungen?
Es gibt sonst keine Beschränkungen, deshalb denke ich, dass man die Zeit in Zeiteinheiten angeben muss.
Ich habe ein Matlab-Programm gefunden, dass von dem Jahr vor uns erstellt wurde und sehr ähnlich war.
Ich habe es mal versucht vom Code umzuschreiben, jedoch weiß ich noch nicht wirklich was ich damit anfangen soll:
$f(t,T,d):=2\pi\frac{t}{T}-d\sin{(4\pi\frac{t}{T}-)}$
$g(t,T,d,a,b):=\vektor{a*\cos{(f(t,T,d))},&b*\sin{(f(t,T,d)}$
$g'(t,T,d,a,b)=\frac{g(t-h,T,d,a,b)-g(t+h,T,d,a,b)}{h}$ (skalar)
$g''(t,T,d,a,b)=\frac{g(t-h,T,d,a,b)+g(t+h,T,d,a,b)-2g(t,T,d,a,b)}{h}$ (skalar)
Für die Fliehkraft gilt:
$x:=\frac{g'(t,T,d,a,b)}{||{g'(t,T,d,a,b)||_2}$ (skalar)
$A:=\pmat{1&0\\0&1}$
$B:=A*x^T*x$
Fliehkraft:
$F(t,T,d,a,b):=B*g''$
Dann waren da einige for-Schleifen
hier wurde folgendes definiert:
a_schritt_zahl=5
b_schritt_zahl=5
d_schritt_zahl=100
t_schritt_zahl=300
ich poste hier einfach mal den restlichen Code:
T = 4.25; % hier ist Probieren gefragt !
for ak = 0:a_schritt_zahl;
a = 4.0 + ak * (4.5 - 4.0) / a_schritt_zahl;
for bk = 0:b_schritt_zahl;
b = 1.0 + bk * (1.5 - 1.0) / b_schritt_zahl;
optimales_d = -0.45; % dasjenige d, fuer das die maximale Fliehkraft minimal wird
minimale_kraft_d = 2000; % einfach eine riesige Zahl
for dk = 0:d_schritt_zahl;
d = -0.45 + dk * 0.9 / d_schritt_zahl;
optimales_t = 0.0; % Zeitpunkt maximaler Fliehkraft
maximale_kraft_t = 0.0;
for tk = 0:t_schritt_zahl;
t = tk * T / t_schritt_zahl;
kraft = F(t, T, d, a, b);
if kraft > maximale_kraft_t
optimales_t = t;
maximale_kraft_t = kraft;
end;
end; % Schleife fuer tk
if maximale_kraft_t < minimale_kraft_d
minimale_kraft_d = maximale_kraft_t;
optimales_d = d;
maximal_kraft_t = optimales_t;
end;
end; % Schleife fuer d
na = num2str(a);
nb = num2str(b);
nT = num2str(T);
nmkd = num2str(minimale_kraft_d);
nod = num2str(optimales_d);
nmkt = num2str(maximal_kraft_t);
disp(['Fuer (a,b,T) = (', na,', ' ,nb,', ',nT,') ergibt sich die maximale Fliehkraft = ', nmkd]);
disp([' und sie wird angenommen fuer das beste d = ', nod, ', mit t = ', nmkt]);
Ich weiß aber leider einfach nicht, was ich damit anfangen soll.
Würde mich sehr um Hilfe freuen.
Vielen Dank
HugATree
> Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Fr 29.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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