Transform.v.nichtlinearer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] [\alpha+l^2*m*cos(\beta)^2)]*\beta''+[-sin(\beta)*l^2*m*cos(\beta)]*\beta'^2 [/mm] = [mm] m*g-(F_M/t1)*t*cos(\beta)*n+F_G*0.5*cos(\beta)*l
[/mm]
[mm] F_G, F_M, [/mm] m, g, [mm] \alpha, [/mm] l, n t1 alle konstant, >0 und reell.
[mm] \beta(t=0)=\pi/6
[/mm]
[mm] \beta'(t=0)=5
[/mm]
[mm] \beta'(t=0)=6 [/mm] (zunächst Beispielwerte für die unteren beiden Bedingungen, die Anfangsbedingungen sind kein Problem) |
Guten Abend!
Ich tippe gerade an meiner Bachelorarbeit (Maschinenbau) herum und bin bei der Berechnung des dynamischen Momentengleichgewichts um einen Hebelarm auf oben stehende, nichtlineare DGL gestoßen. Diese erachte ich nun zu lösen, wahrscheinlich numerisch (hatte etwas numerische Mathematik mit Scilab in der Uni).
Der naheliegendste Weg ist es wohl, die DGL in ein System von (2) DGLs erster Ordnung zu transformieren, richtig? Diese könnte mit einer der zahlreichen numerischen Methoden zum DGL-lösen bezwingen..
Ich setze [mm] also\beta(t)=z1(t) [/mm] und [mm] \beta'(t)=z2(t). [/mm] Dann stelle ich die DGL noch in ihre explizite Form um und kürze die entstehenden Faktoren mit c,b, und a ab.
[mm] \beta''=[c(t,\beta)-b(\beta)*(\beta')^2]/(a(\beta))=f(t,\beta,\beta')
[/mm]
Nun steht als nächstes in meinem TM Buch hier dies:
z1'(t)=f1(t,z1(t),z2(t))=z2(t)
z2'(t)=f2(t,z1(t),z2(t))= [mm] [c(t,z1(t))-b(z1(t))*(z2(t))^2]/(a(z1(t))
[/mm]
als das DGL-System, welche nun "gelöst werden können".
Nun habe ich entweder einen Fehler gemacht oder ein riesen Brett vor dem Kopf. Wie integriere ich die DGL für z2 nun? Ist sie nicht partiell (hängt von t,z1,z2 ab)? Ich habe dieses Verfahren leider nicht in der Uni gelernt und will/darf mir das in Eigenregie reintun.
MFG!
P.S.:
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/283020,0.html
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=458240
(jeweils keine Antworten, aber auch nicht genau die selbe Fragestellung wie hier)
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Hallo freakn_weasel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> [mm][\alpha+l^2*m*cos(\beta)^2)]*\beta''+[-sin(\beta)*l^2*m*cos(\beta)]*\beta'^2[/mm]
> = [mm]m*g-(F_M/t1)*t*cos(\beta)*n+F_G*0.5*cos(\beta)*l[/mm]
>
> [mm]F_G, F_M,[/mm] m, g, [mm]\alpha,[/mm] l, n t1 alle konstant, >0 und
> reell.
> [mm]\beta(t=0)=\pi/6[/mm]
> [mm]\beta'(t=0)=5[/mm]
> [mm]\beta'(t=0)=6[/mm] (zunächst Beispielwerte für die unteren
> beiden Bedingungen, die Anfangsbedingungen sind kein
> Problem)
> Guten Abend!
> Ich tippe gerade an meiner Bachelorarbeit (Maschinenbau)
> herum und bin bei der Berechnung des dynamischen
> Momentengleichgewichts um einen Hebelarm auf oben stehende,
> nichtlineare DGL gestoßen. Diese erachte ich nun zu
> lösen, wahrscheinlich numerisch (hatte etwas numerische
> Mathematik mit Scilab in der Uni).
>
> Der naheliegendste Weg ist es wohl, die DGL in ein System
> von (2) DGLs erster Ordnung zu transformieren, richtig?
> Diese könnte mit einer der zahlreichen numerischen
> Methoden zum DGL-lösen bezwingen..
>
> Ich setze [mm]also\beta(t)=z1(t)[/mm] und [mm]\beta'(t)=z2(t).[/mm] Dann
> stelle ich die DGL noch in ihre explizite Form um und
> kürze die entstehenden Faktoren mit c,b, und a ab.
>
> [mm]\beta''=[c(t,\beta)-b(\beta)*(\beta')^2]/(a(\beta))=f(t,\beta,\beta')[/mm]
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> Nun steht als nächstes in meinem TM Buch hier dies:
> z1'(t)=f1(t,z1(t),z2(t))=z2(t)
> z2'(t)=f2(t,z1(t),z2(t))=
> [mm][c(t,z1(t))-b(z1(t))*(z2(t))^2]/(a(z1(t))[/mm]
> als das DGL-System, welche nun "gelöst werden können".
>
> Nun habe ich entweder einen Fehler gemacht oder ein riesen
> Brett vor dem Kopf. Wie integriere ich die DGL für z2 nun?
> Ist sie nicht partiell (hängt von t,z1,z2 ab)? Ich habe
> dieses Verfahren leider nicht in der Uni gelernt und
> will/darf mir das in Eigenregie reintun.
Ein anderer Ansatz ist die Lösung der obigen DGL
in eine Taylorreihe um den Punkt t=0 zu entwickeln.
Siehe hierzu: ![[]](/images/popup.gif) Potenzreihenansatz (Taylor)
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> MFG!
>
> P.S.:
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/283020,0.html
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=458240
> (jeweils keine Antworten, aber auch nicht genau die selbe
> Fragestellung wie hier)
Gruss
MathePower
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