Transformation von Raumkurven < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Sa 15.10.2011 | | Autor: | MaciejP |
Hallo,
ich bin nicht sicher, ob das hier die richtige Kategorie ist, also das Thema bitte ggf. verschieben.
Mein Problem ist folgendes: Gegeben ist eine Raumkurve f definiert durch x(t), y(t), z(t) über einen Parameter t. Ich möchte diese nun transformieren in eine 3D-Oberfläche F, parametrisiert über s und t und definiert durch x'(s,t), y'(s,t) und z'(s,t). Dabei soll aus der Kurve f ein "Schlauch" werden, der einen festen Radius r hat. Also bspw. aus einer Geraden würde ein Zylinder werden, aus einem Kreis ein Torus, usw.
Die Frage ist nun, wie transformiert man f in eine solche Oberfläche F? Die Grundidee ist vermutlich den Parameter s zu verwenden, um um die Kurve einen Kreis zu ziehen. Das Problem dabei ist nur, dass die Lage dieses Kreises in einer Ebene sich in Abhängigkeit der aktuellen Tangente an f ändern muss. Mir ist nicht klar, wie man die Funktionen x, y und z umformen muss, damit die entsprechende Oberfläche entsteht. Kann jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße,
Maciej
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Hallo MaciejP,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
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> ich bin nicht sicher, ob das hier die richtige Kategorie
> ist, also das Thema bitte ggf. verschieben.
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> Mein Problem ist folgendes: Gegeben ist eine Raumkurve f
> definiert durch x(t), y(t), z(t) über einen Parameter t.
> Ich möchte diese nun transformieren in eine 3D-Oberfläche
> F, parametrisiert über s und t und definiert durch
> x'(s,t), y'(s,t) und z'(s,t). Dabei soll aus der Kurve f
> ein "Schlauch" werden, der einen festen Radius r hat. Also
> bspw. aus einer Geraden würde ein Zylinder werden, aus
> einem Kreis ein Torus, usw.
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> Die Frage ist nun, wie transformiert man f in eine solche
> Oberfläche F? Die Grundidee ist vermutlich den Parameter s
> zu verwenden, um um die Kurve einen Kreis zu ziehen. Das
> Problem dabei ist nur, dass die Lage dieses Kreises in
> einer Ebene sich in Abhängigkeit der aktuellen Tangente an
> f ändern muss. Mir ist nicht klar, wie man die Funktionen
> x, y und z umformen muss, damit die entsprechende
> Oberfläche entsteht. Kann jemand helfen?
>
Gesucht ist zunächst ein Normalenvektor,
der senkrecht zum Richtungsvektor der Tangentengleichung ist.
Aus diesem Wissen, erhältst Du denn eine Bedingungsgleichung.
Aus dieser folgen dann zwei Vektoren, die
a) orthogonal zueinander sein
b) die Norm 1 haben
müssen.
Dies sind die beiden Vektoren, die Du benötigst.
um die Kreisgleichung zu erstellen.
Für diesen Kreis ist dann der Parameter s zu verwenden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Viele Grüße,
> Maciej
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:35 So 16.10.2011 | | Autor: | MaciejP |
> Gesucht ist zunächst ein Normalenvektor,
> der senkrecht zum Richtungsvektor der Tangentengleichung
> ist.
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> Aus diesem Wissen, erhältst Du denn eine
> Bedingungsgleichung.
> Aus dieser folgen dann zwei Vektoren, die
>
> a) orthogonal zueinander sein
> b) die Norm 1 haben
>
> müssen.
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> Dies sind die beiden Vektoren, die Du benötigst.
> um die Kreisgleichung zu erstellen.
>
> Für diesen Kreis ist dann der Parameter s zu verwenden.
Also ich habe im Bronstein eine Gleichung für die Normalebene in einem Punkt P gefunden, mit deren Hilfe es nicht schwierig sein sollte, zwei senkrecht aufeinanderstehende Vektoren zu finden. Mein Problem ist nun aber noch, die Kreisgleichung in Abhängigkeit von s (und evtl. t) mit Hilfe dieser Vektoren zu formulieren, da habe ich überhaupt keinen Ansatzpunkt. Oder vielleicht gibt es noch eine einfachere Möglichkeit aus einer Ebenengleichung und einem Punkt die Kreisgleichung (in Parameterform) zu beschreiben?
Viele Grüße,
Maciej
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Hallo MaciejP,
> > Gesucht ist zunächst ein Normalenvektor,
> > der senkrecht zum Richtungsvektor der
> Tangentengleichung
> > ist.
> >
> > Aus diesem Wissen, erhältst Du denn eine
> > Bedingungsgleichung.
> > Aus dieser folgen dann zwei Vektoren, die
> >
> > a) orthogonal zueinander sein
> > b) die Norm 1 haben
> >
> > müssen.
> >
> > Dies sind die beiden Vektoren, die Du benötigst.
> > um die Kreisgleichung zu erstellen.
> >
> > Für diesen Kreis ist dann der Parameter s zu verwenden.
>
> Also ich habe im Bronstein eine Gleichung für die
> Normalebene in einem Punkt P gefunden, mit deren Hilfe es
> nicht schwierig sein sollte, zwei senkrecht
> aufeinanderstehende Vektoren zu finden. Mein Problem ist
> nun aber noch, die Kreisgleichung in Abhängigkeit von s
> (und evtl. t) mit Hilfe dieser Vektoren zu formulieren, da
> habe ich überhaupt keinen Ansatzpunkt. Oder vielleicht
> gibt es noch eine einfachere Möglichkeit aus einer
> Ebenengleichung und einem Punkt die Kreisgleichung (in
> Parameterform) zu beschreiben?
Nun die Kreisgleichung im Raum lautet:
[mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OM}+r*\cos\left(s\right)*\overrightarrow{n_{1}}+r*\sin\left(s\right)*\overrightarrow{n_{2}}[/mm]
,wobei
r der Radius des Kreises,
[mm]\overrightarrow{OM}[/mm] der Ortsvektor zum Mittelpunkt des Kreises,
s alle Winkel von 0 bis [mm]2\pi[/mm] durchläuft,
[mm]\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}[/mm] zwei orthonormale Vektoren sind.
Hier sind im allgemeinen die Vektoren [mm]\overrightarrow{OM}, \ \overrightarrow{n_{1}}, \ \overrightarrow{n_{2}}[/mm] von t abhängig.
>
> Viele Grüße,
> Maciej
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 16.10.2011 | | Autor: | MaciejP |
> Nun die Kreisgleichung im Raum lautet:
>
> [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OM}+r*\cos\left(s\right)*\overrightarrow{n_{1}}+r*\sin\left(s\right)*\overrightarrow{n_{2}}[/mm]
>
> ,wobei
>
> r der Radius des Kreises,
> [mm]\overrightarrow{OM}[/mm] der Ortsvektor zum Mittelpunkt des
> Kreises,
> s alle Winkel von 0 bis [mm]2\pi[/mm] durchläuft,
> [mm]\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}[/mm] zwei
> orthonormale Vektoren sind.
Vielen Dank, das war der Schlüssel der mit gefehlt hat. Ich habe nun mit den Vektoren für ein begleitendes Dreibein eine allgemeine Formel gefunden:
[mm] $$\vec{F} [/mm] = [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] r\cdot \cos(s)\,\vec{b} [/mm] + [mm] r\cdot \sin(s)\left(\vec{b}\times\vec{t}\right),$$
[/mm]
wobei
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}$, $\vec{t} [/mm] = [mm] \frac{\dot{\vec{x}}}{|\dot{\vec{x}}|}$, $\vec{b} [/mm] = [mm] \frac{\dot{\vec{x}}\times\ddot{\vec{x}}}{|\dot{\vec{x}}\times\ddot{\vec{x}}|}$ [/mm] und $s [mm] \in [\,0, 2\pi)$.
[/mm]
Hab's mal für eine Gerade und eine quadratisches Kurve durchgerechnet und die entstehenden Oberflächen sehen optisch zumindest korrekt aus. Ich denke mal, man könnte es noch allgemeiner formulieren, wenn man sin und cos durch allgemeinere Funktionen ersetzen würde.
Viele Grüße,
Maciej
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> Ich habe nun mit den Vektoren für ein begleitendes
> Dreibein eine allgemeine Formel gefunden:
>
> [mm]\vec{F} = \vec{x} + r\cdot \cos(s)\,\vec{b} + r\cdot \sin(s)\left(\vec{b}\times\vec{t}\right),[/mm]
>
> wobei
> [mm]\vec{x} = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}[/mm],
> [mm]\vec{t} = \frac{\dot{\vec{x}}}{|\dot{\vec{x}}|}[/mm], [mm]\vec{b} = \frac{\dot{\vec{x}}\times\ddot{\vec{x}}}{|\dot{\vec{x}}\times\ddot{\vec{x}}|}[/mm]
> und [mm]s \in [\,0, 2\pi)[/mm].
Ich denke auch, dass das klappen sollte.
> Hab's mal für eine Gerade und eine quadratisches Kurve ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
(du meinst wohl den Graph einer quadratischen Funktion,
also eine Parabel - nicht etwa ein Quadrat ...)
> durchgerechnet und die entstehenden Oberflächen sehen
> optisch zumindest korrekt aus. Ich denke mal, man könnte
> es noch allgemeiner formulieren, wenn man sin und cos durch
> allgemeinere Funktionen ersetzen würde.
Was versprichst du dir davon ?
Naja, du könntest dann z.B. einen Schlauch mit einem herz-
förmigen Querschnitt erzeugen 
LG Al-Chw.
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