Transformationsmatrix best. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 So 09.04.2006 | | Autor: | Olek |
| Aufgabe | Sei A:={(1,1,1),1,-1,1),(1,-1,-1)} und [mm] B:={(\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}}),(\bruch{1}{\wurzel{6}},-\bruch{2}{\wurzel{6}},\bruch{1}{\wurzel{6}}),(\bruch{1}{\wurzel{2}},0,\bruch{1}{\wurzel{2}})}
[/mm]
Berechne die Transformationsmatrix [mm] T^{A}_{B} [/mm] |
Hallo,
mir ist leider nicht klar wie ich vorgehen muß. Ich hab grad im Internet schon ne Menge gefunden über die Transformationsmatrix, allerdings nichts konkretes. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand die genaue Vorgehensweise erklären könnte.
MfG,
Olek
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 09.04.2006 | | Autor: | Olek |
Hi,
genau den Beitrag in der MatheBank hatte ich auch gefunden. Allerdings war mir nicht klar, wie ich damit die T.-Matrix bestimmen kann. Welche Funktion hat das v, welche die [mm] x_{i} [/mm] und [mm] y_{i}?
[/mm]
Mir ist nämlich die Grafik hinter dem "Dann:" auch nicht ganz klar.
Vielleicht könntest du mir da noch etwas auf die Sprünge helfen!?
MfG,
Olek
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 So 09.04.2006 | | Autor: | Olek |
Noch ein Nachtrag.
Ich hab gerade versucht die Aufgabe nach dem Beispiel des MathePlanete zu lösen (![[]](/images/popup.gif) hier).
Allerdings soll ich da die Inverse einer Matrix bilden, welche ich erhalte, wenn ich die Vektoren von U als Spalten schreibe. Tue ich das allerdings, und ziehe dann Z3 von Z1 ab hab ich ne Nullzeile. Das macht das Berechnen der Inversen schwierig ...
Hab ich was missverstanden oder falsch gemach?
Schönen Abend noch,
Olek
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Hallo,
ich kenne da generell diese Vorgehensweise:
Seien eben A und B Basen von V, die Transformationsmatrix ist ja nichts weiter als die Koordinatenmatrix von der identischen Abbildung [mm] id_V. [/mm] Also nimmst du [mm] a_i [/mm] , [mm] f(a_i) [/mm] = [mm] a_i [/mm] wegen [mm] id_V.
[/mm]
Nun gilt [mm] f(a_i) [/mm] = [mm] a_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} c_j_i b_j
[/mm]
mit [mm] c_j \in [/mm] K als Einträge der Matrix, 0 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] n .
Bedeutet, du bestimmst für jedes [mm] a_i [/mm] die Linearkombination aus den [mm] b_j.Die [/mm] Einträge [mm] c_j [/mm] schreibst du dann untereinander in die jeweilige Spalte.
Also konkret in deinem Beispiel für [mm] a_1 [/mm] = (1, 1, 1) ist [mm] a_1 [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] b_1 [/mm] + 0 * [mm] b_2 [/mm] + 0 * [mm] b_3
[/mm]
Demnach wäre die 1. Spalte [mm] s_1 [/mm] deiner T-Matrix [mm] (\wurzel{3} [/mm] ,0 ,0 )
Hoffe, dass das hier einigermaßen richtig ist und weiterhilft. ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mo 10.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Guten Morgen (auch an Torsten),
Also eine TrafoMatrix [mm] $T^A_B$ [/mm] soll ja einen beliebigen Vektor v, der in Basisdarstellung A gegeben ist, in einen Vektor v' umwandeln (aber ansonsten gleich lassen), der bzgl B dargestellt ist.
D.H (folgendes ist nur symbolisch zu sehen) : wir wollen : [mm] $T^A_B*v=v'$
[/mm]
Man darf ja keinen Vektor v an eine Matrix multiplizieren, sondern muss vielmehr seine Repraesentation im [mm] $K^n$ [/mm] nehmen, also sei v bzgl A dargestellt, d.h. :
[mm] $v=x_1*a_1 [/mm] + ... [mm] +x_n*a_n$ [/mm] (dir ist hoffentlich klar, dass die Koeffizienten [mm] x_i [/mm] schon eindeutig bestimmt sind, wenn die [mm] a_i [/mm] die Basisvektoren von A sind)
diese [mm] x_i [/mm] stellen ja gerade unseren Vektor in [mm] $K^n$ [/mm] dar und nur diese duerfen wir an die Matrix ranmultiplizieren.
Der Ausdruck : [mm] $T_{A}^{B}\left( \vektor{x_1\\.\\.\\x_n} \right)=\vektor{y_1\\.\\.\\y_n}$ [/mm] besagt nur, dass die Darstellung bzgl A (also die [mm] x_i) [/mm] ind die Darstellung bzgl B (also die [mm] y_i [/mm] ) umgewandelt wird durch [mm] $T_{A}^{B}$ [/mm] - es ist nur teil der Beschreibung, was wir vor haben - noch nicht, wie man es macht !
Torsten hatte ja schon den erst-besten Ansatz geschrieben wie man jetzt vorgehen koennte : Man bestimmt durch ein Gleichungssystem wie jeder Basisvektor von A in Basisdarstellung B aussieht(siehe die Antwort von Torsten).
Es geht aber auch systematischer (und einfacher zu rechnen) :
Die Idee der  Koordinatentransformation ist es zuerst den Vektor v mithilfe von [mm] $T_{E}^{A}=M_A$ [/mm] von Darstellung bzgl A in Darstellung der Standardbasis darzustellen.
Danach den Vektor, der da herauskommt mithilfe [mm] $T_{B}^{E}=(M_B)^{-1}$ [/mm] bzgl B darzustellen.
Warum ist das jetzt einfacher?
Nun ja die Matrizen [mm] M_A [/mm] und [mm] M_B [/mm] sind bereits gegeben - sie sind die TrafoMatrizen von A nach E bzw B nach E, d.h. fuer [mm] M_A [/mm] : wenn man den ersten Basisvektor von A , der in Basisdarstellung A gegeben ist - also [mm] $\vektor{1\\0\\0}$, [/mm] an [mm] M_A [/mm] multipliziert, soll gerade in deinem Beispiel [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] herauskommen (so sieht naemlich [mm] a_1 [/mm] bzgl Standardbasis aus), d.h aber dass [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] die erste Spalte sein muss von [mm] M_A
[/mm]
(analog die anderen Spalten und [mm] M_B)
[/mm]
also :
[mm] $M_A=\pmat{1&1&1\\1&-1&-1\\1&1&-1}$ [/mm] und [mm] $M_B=\pmat{(\wurzel{3})^{-1}&(\wurzel{6})^{-1}&(\wurzel{2})^{-1}\\(\wurzel{3})^{-1}&-2*(\wurzel{6})^{-1}&0\\(\wurzel{3})^{-1}&(\wurzel{6})^{-1}&(\wurzel{2})^{-1}}$
[/mm]
Alles was jetzt noch zu tun bleibt ist das folgende Produkt aus zu rechnen:
[mm] $T_B^{A}=(M_B)^{-1}*M_A$
[/mm]
noch eine kleine Bemerkung:
dies ist eigentlich dasselbe, was Torsten macht, denn Torsten hat versucht [mm] a_1 [/mm] bzgl B darzustellen, also [mm] $M_B*\vec{x}=a_1$ [/mm] zu loesen, dies ist aber gerade :
[mm] $\vec{x}=(M_B)^{-1}*a_1$
[/mm]
und analog die restlichen [mm] a_i [/mm] fuer die anderen Spalten
Wenn man dies mal zusammenfasst, dann muss man nur einmal [mm] $(M_B)^{-1}$ [/mm] berechnen und dann [mm] $(M_B)^{-1}*M_A$ [/mm] ausrechnen um alles auf einmal zu haben ! (denn die [mm] a_i [/mm] stehen ja als Spalten in [mm] M_A [/mm] )
nun gut, hab ja jetzt erstmal genug geschrieben...
Schreib ruhig, wenn etwas unklar ist - nur so wird es fuer mehr Leute verstaendlicher..
viele Gruesse
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Olek |
Vielen Dank für die Antwort, das klingt alles recht logisch.
Das Problem ist nun aber das Inverse der Matrix zu bilden, denn die erste und die letzte Zeile sind linear abhängig. Liegt das daran, dass die Basis die ich in der Aufgabe zuvor berechnet habe falsch ist? Es soll eine ONB sein, und das ist sie ja eigentlich!?
Vielleicht könnt ihr mir da noch mal kurz helfen.
MfG, Olek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mo 10.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja , das hast du recht..
Also WENN du eine Basis hast, DANN ist auch die Matrix invertierbar !
(Denn die spalten sind lin unabhaengig wg. Basis und wg Spaltenrang gleich Zeilenrang damit auch die Zeilen) , d.h also deine Basis B ist falsch - die Matrix muss auf jedenfall invertierbar sein wenn B eine Basis sein soll....
viele Gruese
DaMenge
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