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hi,
ich grüble jetzt schon seid stunden an folgendem beispiel:
überbegriff des beispiels: transformation ...
Sei X (stochastische grösse) gleichverteilt auf [mm] (-\bruch{Pi}{2},\bruch{Pi}{2}), [/mm] das heißt
[mm] f_{x}(x)=\bruch{1}{Pi} [/mm] für [mm] -\bruch{Pi}{2}
a) Sei Y = sin(X). Zeige, dass [mm] f_{y}(y)=\bruch{1}{Pi}*\bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}}}
[/mm]
b) Sei Z=tan(X). Berechne die Dichte [mm] f_{z}(z)
[/mm]
Ich denke mal man muss hier den Transformationssatz für dichten [mm] f_{y}(y)=f_{x}(g^{-1}(y))*g^{-1}(y)^{'} [/mm] anwenden, leider ohne erfolg.
bitte um hilfe und vielen dank im vorhinein!
thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Thomas,
Vorschlag von mir:
Die erste Rechnung führe ich komplett vor, die zweite fange ich an und sie wird dann von dir beendet. Du stellst dein Ergebnis, vielleicht versehen mit ein paar zusätzlichen Schritten oder Kommentaren, hier herein und wir kontrollieren es dann.
Also, zur ersten Aufgabe:
> a) Sei Y = sin(X). Zeige, dass
> [mm] f_{y}(y)=\bruch{1}{Pi}*\bruch{1}{\wurzel{1-y^{2}}}
[/mm]
>
> Ich denke mal man muss hier den Transformationssatz für
> dichten [mm] f_{y}(y)=f_{x}(g^{-1}(y))*g^{-1}(y)^{'} [/mm] anwenden,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist doch völlig richtig. Man muss es nur konsequent durchziehen. Machen wir das doch mal:
Nach deiner Formel (die wahr ist) gilt (ich rechne so, als würde ich die Ableitung von [mm] $\arcsin$ [/mm] gerade nicht kennen und müsste sie mir herleiten (okay, so ist es auch...  ):
[mm]f_Y(y) = \frac{1}{\pi} \cdot 1_{]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[} \cdot \arcsin'(y)[/mm]
[mm] = \frac{1}{\pi} \cdot 1_{]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[}(y) \cdot \frac{1}{\sin'(\arcsin(y))}[/mm]
[mm]= \frac{1}{\pi} \cdot 1_{]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[}(y)\cdot \frac{1}{\cos(\arcsin(y))}[/mm]
[mm]= \frac{1}{\pi} \cdot 1_{]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[}(y) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin(y))}}[/mm]
[mm]= \frac{1}{\pi} \cdot 1_{]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[}(y) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}[/mm]
> b) Sei Z=tan(X). Berechne die Dichte [mm] f_{z}(z)
[/mm]
Nach deiner Formel gilt:
[mm]f_Z(z) = \frac{1}{\pi} \cdot 1_{]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[}(z) \cdot \arctan'(z)[/mm]
Okay, die Ableitung vom Arcustangens kenne sogar ich auf Anhieb. Entweder du schaust sie nach oder aber du leitest sie wie ich oben her.
Melde dich mal mit deinem Ergebnis zur Kontrolle. 
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße
Stefan
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hallo stefan,
vorerst vielen(!!) dank für deine hilfe. ich habe jetzt auch entdeckt welchen fehler ich gemacht habe. ich habe [mm] sin^{-1}(x) [/mm] als [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm] interpretiert... und daher bin ich nie zu einem ergebnis gekommen...
aber hier meine lösung zu punkt b:
einsetzen in den transformationssatz: [mm] f_Z(z) = \bruch{1}{\pi} \cdot arctan'(z) [/mm]
die erste ableitung von [mm] arctan(z) [/mm] ist [mm] \bruch{1}{1+z^{2}} [/mm] (ich hab nachgesehen )
daher ist die gesuchte Dichte: [mm] f_Z(z) = \bruch{1}{\pi} \cdot \bruch{1}{1+z^{2}} [/mm]
Um die Grenzen der Dichte zu ermitteln habe ich die Def. der Dichte herangezogen und sozusagen "halbiert" da der tan um 0 symetrisch ist:
[mm] \integral_{0}^{i} {\bruch{1}{\pi} \cdot \bruch{1}{1+z^{2}} dz} = \bruch{1}{2} [/mm]
das ganze nach i aufgelöst ergibt für i unendlich. Somit erstrecht sich die Dichte von [mm]- \infty[/mm] bis [mm] \infty[/mm].
soweit meine lösung, ich hoffe sie stimmt.
bg und nochmal danke für die hilfe,
thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Sa 22.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Thomas!
Perfekt!
Liebe Grüße
Stefan
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