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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Fr 24.07.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Folgende Aussage sei gegeben:
Wenn $ x [mm] \ge [/mm] 4 $, dann $ [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] $
Während der induktiven Beweisführung werde folgende Aussage getroffen:
Für x = 4:
$ [mm] 2^4 [/mm] = 16 [mm] \ge 4^2 [/mm] = 16 $
Für x [mm] \to [/mm] x+1:
$ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $
Es sei:
$ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $
und:
$ 2 * [mm] 2^x \ge (x+1)^2 [/mm] $
Folglich ist wegen der Transitivität
$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $ |
Hallo,
ich verstehe nicht so ganz, wie man die Transitivität hier erkennen soll.
Die Aussage
$ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ für x [mm] \to [/mm] x+1 leitet sich ja aus der Aufgabenstellung ab
$ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ erhält man, wenn man beide Seiten der ursprünglichen Ungleichung mit 2 Multipliziert
Jetzt ist $ [mm] 2^{x+1} [/mm] = 2 * [mm] 2^x [/mm] $
Woher weiß ich, dass die Transititve Abhängigkeit
$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $ lauten muss und nicht etwa $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $
lg
magics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Fr 24.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Folgende Aussage sei gegeben:
>
> Wenn [mm]x \ge 4 [/mm], dann [mm]2^x \ge x^2[/mm]
>
> Während der induktiven Beweisführung
Aha, dann ist also x [mm] \in \IN.
[/mm]
> werde folgende
> Aussage getroffen:
>
> Für x = 4:
>
> [mm]2^4 = 16 \ge 4^2 = 16[/mm]
Das ist der Induktionsanfang.
>
> Für x [mm]\to[/mm] x+1:
>
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm]
>
> Es sei:
> [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm]
Was heißt "Es sei" ???
Die Induktionsvoraussetzung lautet: für ein x [mm] \in \IN [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 4 gelte [mm] 2^x \ge x^2.
[/mm]
Unter dieser Vor. ist dann zu zeigen:
[mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2.
[/mm]
>
> und:
> [mm]2 * 2^x \ge (x+1)^2[/mm]
Das ist zu zeigen !
>
> Folglich ist wegen der Transitivität
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm]
> Hallo,
>
> ich verstehe nicht so ganz, wie man die Transitivität hier
> erkennen soll.
>
> Die Aussage
>
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] für x [mm]\to[/mm] x+1 leitet sich ja aus der
> Aufgabenstellung ab
>
> [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm] erhält man, wenn man beide Seiten der
> ursprünglichen Ungleichung mit 2 Multipliziert
Na ja. Man bekommt das, wenn man die Induktionsvor. [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] mit 2 multipliziert.
>
> Jetzt ist [mm]2^{x+1} = 2 * 2^x[/mm]
>
> Woher weiß ich, dass die Transititve Abhängigkeit
>
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm] lauten muss und nicht etwa
> [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm]
[mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm] ist richtig,
aber
[mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm] ist falsch.
Nach Induktionsvoraussetzung haben wir: [mm] 2^x \ge x^2
[/mm]
Dahin wollen wir: [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2.
[/mm]
Aus der Ind. Vor. folgt
[mm] 2^{x+1} \ge 2x^2.
[/mm]
Wenn man sich nun von der Richtigkeit der Ungleichung
[mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4
überzeugen kann, ist man fertig.
Es fehlt also noch:
[mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4.
Das kann man so erledigen (für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 4):
[mm] 2x^2 \ge (x+1)^2 \gdw 2x^2 \ge x^2+2x+1 \gdw x^2 \ge [/mm] 2x+1 [mm] \gdw x^2-2x+1 \ge [/mm] 2 [mm] \gdw (x-1)^2 \ge [/mm] 2.
Ist nun [mm] (x-1)^2 \ge [/mm] 2 richtig ?
Ja, denn für x [mm] \ge [/mm] 4 ist x-1 [mm] \ge [/mm] 3. Damit haben wir sogar [mm] (x-1)^2 \ge [/mm] 9.
FRED
>
> lg
> magics
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Fr 24.07.2015 | | Autor: | magics |
Ich verstehs nicht...
$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ und
$ [mm] 2^{x+1} \ge 2^{x+1} [/mm] $
Ist doch wie
A [mm] \ge [/mm] B
A [mm] \ge [/mm] C
Dann kann B [mm] \ge [/mm] C oder auch B [mm] \le [/mm] C sein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Fr 24.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehs nicht...
>
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
> [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]
>
> Ist doch wie
>
> A [mm]\ge[/mm] B
> A [mm]\ge[/mm] C
>
> Dann kann B [mm]\ge[/mm] C oder auch B [mm]\le[/mm] C sein...
Ja, aber was willst Du damit sagen ? Ich hab Dir oben die Aufgabe komplett(!) vorgemacht. Was verstehst Du nicht ?
FREd
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Fr 24.07.2015 | | Autor: | magics |
Ok, also:
Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir
$ [mm] 2^x \ge x^2 [/mm] $ und $ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $,
die beide das gleiche beschreiben.
Jetzt kann man $ 2 * [mm] 2^x \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ aus der Induktionsvoraussetzung auch als $ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $ schreiben.
Wir haben jetzt also einmal aus der Induktionsvoraussetzung:
(I) $ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $
und einmal aus dem Induktionsschritt:
(II) $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ (was wir ja beweisen wollen)
Nun stelle ich mir (I) und (II) zusammengefasst so vor:
$ [mm] (x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 [/mm] $
$ [mm] (x+1)^2 [/mm] $ muss also "kleiner-gleich allem sein, was rechts steht" oder eben "kleiner-gleich allem, was links steht", also:
$ [mm] 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2 \ge (x+1)^2 [/mm] $
Ich dürfte also NICHT stattdessen schreiben,
$ 2 * [mm] x^2 \le 2^{x+1} \ge (x+1)^2 [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] 2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge [/mm] 2 * [mm] x^2$,
[/mm]
weil?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Fr 24.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo magics!
> Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir
>
> [mm]2^x \ge x^2[/mm] und [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2 [/mm],
>
> die beide das gleiche beschreiben.
Ja.
> Jetzt kann man [mm]2 * 2^x \ge 2 * x^2[/mm] aus der
> Induktionsvoraussetzung auch als [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]
> schreiben.
Ja.
> Wir haben jetzt also einmal aus der
> Induktionsvoraussetzung:
> (I) [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]
>
> und einmal aus dem Induktionsschritt:
> (II) [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] (was wir ja beweisen wollen)
Ja. (I) dürfen wir voraussetzen, (II) wollen wir beweisen.
> Nun stelle ich mir (I) und (II) zusammengefasst so vor:
> [mm](x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm]
Ein Mischmasch aus Vorausgesetztem und zu Zeigendem erscheint mir nicht sonderlich sinnvoll...
> [mm](x+1)^2[/mm] muss also "kleiner-gleich allem sein, was rechts
> steht"
Unter
[mm] "$(x+1)^2 \le 2^{x+1} \ge [/mm] 2 * [mm] x^2$"
[/mm]
verstehe ich die Aussage
[mm] "$(x+1)^2\le 2^{x+1}$ [/mm] und [mm] $2^{x+1}\ge 2*x^2$".
[/mm]
> oder eben "kleiner-gleich allem, was links steht",
> also:
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2 \ge (x+1)^2[/mm]
Das ist zwar nicht die gleiche Aussage, aber tatsächlich gilt sie, wie Fred bewiesen hat.
Aus der Transitivität von [mm] $\ge$ [/mm] folgt somit wie gewünscht (II).
> Ich dürfte also NICHT stattdessen schreiben,
> [mm]2 * x^2 \le 2^{x+1} \ge (x+1)^2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]2^{x+1} \ge (x+1)^2 \ge 2 * x^2[/mm],
>
> weil?
Es gilt anstelle deines [mm] $\gdw$ [/mm] zwar [mm] $\Leftarrow$, [/mm] aber im Allgemeinen nicht [mm] $\Rightarrow$, [/mm] wie du dir z.B. am Beispiel $x=4$ überlegen kannst.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Fr 24.07.2015 | | Autor: | magics |
Trotzdem auf jeden Fall vielen Dank für deine Antwort! Ich denke ich komme dahinter, wenn ich noch ein paar Beispiele rechne.
lg
magics
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Fr 24.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ich verstehs nicht...
>
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
> [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]
>
> Ist doch wie
>
> A [mm]\ge[/mm] B
> A [mm]\ge[/mm] C
>
> Dann kann B [mm]\ge[/mm] C oder auch B [mm]\le[/mm] C sein...
Im Allgemeinen ja.
Im obiger Situation mit [mm] $A=2^{x+1}$, [/mm] $B=2 * [mm] x^2$ [/mm] und [mm] $C=2^{x+1}$ [/mm] ist jedoch zusätzlich $C=A$.
Also haben wir [mm] $C=A\ge [/mm] B$ und somit [mm] $C\ge [/mm] B$.
Alternative Erklärung:
Aus
> [mm]2^{x+1} \ge 2 * x^2[/mm] und
> [mm]2^{x+1} \ge 2^{x+1}[/mm]
folgt direkt und ohne deine "A,B,C-Überlegung" die Ungleichung [mm] $2^{x+1}\ge2*x^2$.
[/mm]
Noch eine andere Erklärung:
[mm] $2^{x+1}\ge 2^{x+1}$ [/mm] ist keine wahnsinnig tiefsinnige Erkenntnis.
Freds Beweis kommt völlig ohne sie aus.
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