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Forum "Lineare Abbildungen" - Translation lineare Abbildung?
Translation lineare Abbildung? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Translation lineare Abbildung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:55 Di 07.12.2010
Autor: Pokojovix

Aufgabe
Sei n [mm] \in \IN. P_n [/mm] = [mm] \{p : \IR \to \IR | p(x) = \summe_{k=0}^{n} a_x x^k, a_k \in \IR, k = 0, \ldots , n \} [/mm] bezeichne den Vektorraum aller reellen Polynome, dessen Grad n nicht übersteigt. Desweiteren seien folgende Abbildungen gegeben:
[...]
3) [mm] T_x_0 [/mm] :  [mm] P_n \to P_n, [/mm] p [mm] \mapsto p(\cdot [/mm] - [mm] x_0) [/mm] für ein beliebiges [mm] x_o \in \IR [/mm] (Translation).

a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen [...] und [mm] T_x_0 [/mm] linear sind.
b) Geben Sie jeweils durch geschickte Basiswahl eine möglichst einfache Matrixdarstellung der linearen Abbildungen [...] und [mm] T_x_0 [/mm] an.

Hallo Forum!

Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich meine, dass die Translation keine lineare Abbildung ist:
Ich nehme als Beispiel: [mm] T_x_0(a) [/mm] = a - [mm] x_0 [/mm] bzw. [mm] T_x_0(b) [/mm] = b - [mm] x_0 [/mm]
Dann ist [mm] T_x_0(a) [/mm] + [mm] T_x_0(b) [/mm] = a - [mm] x_0 [/mm] + b - [mm] x_0 [/mm] = a+b - 2 [mm] \cdot x_0 \not= [/mm] T(a+b) = (a+b) - [mm] x_0. [/mm]

Stimmt das so? Dann wäre ja ein Fehler in der Aufgabe...

Danke schon mal im Voraus und Grü0e
Pokojovix

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Translation lineare Abbildung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Mi 08.12.2010
Autor: leduart

Hallo
ich dachte die Abbildung bildet [mm] p(x)=a_0+a_1x*... [/mm]
auf [mm] p(x)=a_0+a:1(x-x_0)+a_2*(x-x_0)^2.... [/mm] ab. das ist eine Translation inx-Richtung.
du machst aber ne Abbildung [mm] p(x)+x_0 [/mm] daraus. ist das so gemeint?
ich versteh das $ [mm] p\mapsto p(\cdot [/mm] $ - $ [mm] x_0) [/mm] $ nicht wirklich. wird das irgendwo erklärt?
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Translation lineare Abbildung?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:48 Mi 08.12.2010
Autor: felixf

Moin leduart,

>  ich dachte die Abbildung bildet [mm]p(x)=a_0+a_1x*...[/mm]
>  auf [mm]p(x)=a_0+a:1(x-x_0)+a_2*(x-x_0)^2....[/mm] ab. das ist eine
> Translation inx-Richtung.

da denkst du richtig! Genau das ist gemeint.

> du machst aber ne Abbildung [mm]p(x)+x_0[/mm] daraus. ist das so
> gemeint?

Nein, das ist falsch.

>  ich versteh das [mm]p\mapsto p(\cdot[/mm] - [mm]x_0)[/mm] nicht wirklich.

Das [mm] "$\cdot$" [/mm] ist hier ein Platzhalter. Ein Ausdruck wie [mm] $f(\cdot)$ [/mm] bezeichnet die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] f(x)$.

Also man kann auch schreiben, $p [mm] \mapsto [/mm] (x [mm] \mapsto [/mm] p(x - [mm] x_0))$. [/mm]

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Translation lineare Abbildung?: alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:57 Mi 08.12.2010
Autor: Pokojovix

Hallo!

Danke an euch beide! Mit der Verschiebung in x-Richtung ist es natürlich eine lineare Abbildung.

Viele Grüße

Bezug
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