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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:58 Fr 08.11.2013 | | Autor: | yannikk |
Hallo alle zusammen,
ich sitze nun an einer Aufgabe und mir fehlt eigentlich nur der letzte Schritt.
Die Aufgabe lautet wie folgend:
Sei a [mm] \in \IR. [/mm] Auf [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] definieren wir die Gerade
[mm] G_{a,b} [/mm] := {(x, ax+b) [mm] \in \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] | x [mm] \in \IR} [/mm] mit b [mm] \in \IR. [/mm] Zeige, dass die Menge P := { [mm] G_{a,b} [/mm] | b [mm] \in \IR} [/mm] eine Partition von [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] ist. Bestimme eine Transversale und die zugehörige Äquivalenzrelation.
Habe zuerst bewiesen, dass es sich um eine Äquivalenzrelation ist.
Nun soll ich die Transversale bestimmen. Nur wie soll ich das machen.Die Transversale ist ja eine Abbildung die auf alle [mm] \IR [/mm] abbildet, wie genau soll man sie einschränken.
Ich bräuchte ja erstmal meine Äquivalenzklassen.
Kann mir jemand helfen, indem er mir erklärt wie genau ich meine Transversale bilden kann?
Danke :)
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> Hallo alle zusammen,
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> ich sitze nun an einer Aufgabe und mir fehlt eigentlich nur
> der letzte Schritt.
>
> Die Aufgabe lautet wie folgend:
>
> Sei [mm]\alpha \in \IR.[/mm] Auf [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] definieren wir die Gerade
> [mm]G_{a,b}:= \{(x, ax+b) \in \IR \times \IR\ |\ x \in \IR\}[/mm] mit b [mm]\in \IR.[/mm]
> Zeige, dass die Menge P := [mm]\{G_{a,b}\ |\ b \in \IR \}[/mm] eine
> Partition von [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] ist. Bestimme eine Transversale und
> die zugehörige Äquivalenzrelation.
>
> Habe zuerst bewiesen, dass es sich um eine
> Äquivalenzrelation ist.
>
> Nun soll ich die Transversale bestimmen. Nur wie soll ich
> das machen.Die Transversale ist ja eine
> Abbildung die auf alle [mm]\IR[/mm] abbildet, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
was soll dies bedeuten ?
> wie genau soll man sie einschränken.
> Ich bräuchte ja erstmal meine Äquivalenzklassen.
>
> Kann mir jemand helfen, indem er mir erklärt wie genau ich
> meine Transversale bilden kann?
>
> Danke :)
Hallo yannikk,
zuerst eine Verständnisfrage: im Aufgabentext ist
zuallererst die Rede von einem [mm] \alpha\in\IR [/mm] , welches dann
aber im weiteren Text überhaupt nicht mehr vor-
kommt. Soll dieses fest vorgegebene [mm] \alpha [/mm] mit dem
a identisch sein, welches dann vorkommt ??
Ich stelle mir die Aufgabe geometrisch vor, wie sie
wohl auch gedacht war. [mm] \IR\times\IR [/mm] steht für die euklidische
Ebene mit x-y-Koordinatensystem, [mm] G_{a,b} [/mm] für eine darin
liegende Gerade mit Steigung a und y-Achsenschnittpunkt (0,b).
Falls (wie ich vermute), [mm] a=\alpha [/mm] fest vorgegeben ist,
betrachten wir dann mit P nur noch eine Schar
von Parallelen, die allesamt dieselbe
Steigung a besitzen. Geometrisch ist recht offensichtlich,
dass die Geraden dieser Schar eine Partition von [mm] \IR\times\IR
[/mm]
bilden. Jeder Punkt der Ebene liegt auf genau einer
dieser (unendlich vielen) Geraden.
Als "Transversale" bzw. Repräsentantensystem würde sich
beispielsweise die y-Achse anbieten, also die Menge
aller möglichen y-Achsenschnittpunkte (0,b) mit [mm] b\in\IR
[/mm]
(Bemerkung: ich weiß nicht genau, wie bei euch der
Begriff "Transversale" definiert wurde ...)
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Fr 08.11.2013 | | Autor: | yannikk |
Ja das sollte tatsächlich ein a sein, ich habe oben ein Alpha daraus gemacht, das tut mir leid.
Ok ich verstehe jetzt wie dies nun bildlich auszusehen hat, das war mir vorher nicht klar.
Naja die Transversale haben wir so gar nicht besprochen und im Skript stehen 2 Definitionen dazu:
1) Zum einem kann es eine Vertretermenge sein
2) Zum anderen eine Vertreterabbildung.
Wenn ich das richtig verstehe, müsste ich ja hier eine Vertreterabbildung definiert durch die unendlich vielen Parallelen definieren.
Soweit ich das sehe haben wir uns mit Vertretermengen einmal beschäftigt.
Wenn ich jetzt deine Tipps befolge, müsste ich so etwas erhalten für meine Äquivalenzklassen:
x,a,b [mm] \in \IR [/mm] mit [x] = { y [mm] \in \IR [/mm] | y = ax+b } mit a beliebig aber fest.
Unser Tutor hat gestern nach Nachfrage an einem einfachen Beispiel gezeigt, dass man dann die Vertretermenge sich aussuchen kann.
Könnte ich nun sagen die Vertretermenge ist [b] für x,a = 0? Für alle Anderen fälle wäre es ja allgemein [x].
Und ist das auch das selbe wie eine Vertreterabbildung.
Dann wäre ja meine Partition auch [x] [mm] \cup(disjkunte [/mm] Vereinigung) [b] = [mm] G_{a,b}.
[/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe!
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> Ja das sollte tatsächlich ein a sein, ich habe oben ein
> Alpha daraus gemacht, das tut mir leid.
Ich würde dir empfehlen, diese kleine (aber wesentliche)
redaktionelle Korrektur in deinem Startartikel vorzunehmen.
> Ok ich verstehe jetzt wie dies nun bildlich auszusehen hat,
> das war mir vorher nicht klar.
Bilder können bei derartigen Aufgaben sehr hilfreich sein.
> Naja die Transversale haben wir so gar nicht besprochen und
> im Skript stehen 2 Definitionen dazu:
>
> 1) Zum einem kann es eine Vertretermenge sein
Dies wäre dann dasselbe wie "Repräsentantensystem".
Im Beispiel können wir eben z.B. als Vertretermenge
alle Punkte (0|b) mit [mm] b\in\IR [/mm] nehmen, also die Menge
aller Punkte der y-Achse.
> 2) Zum anderen eine Vertreterabbildung.
... und dies bestimmt die Abbildung, welche jedem Punkt
der Ebene seinen Vertreter-Punkt zuordnet. Diese Abbildung
lässt sich geometrisch ebenfalls sehr leicht deuten:
Für einen beliebigen Punkt P(x|y) legt man durch ihn
die Gerade mit Steigung a. Der Vertreterpunkt von P ist
dann der Punkt (0|b), in welchem diese Gerade die
y-Achse schneidet.
Übrigens ist dann die "Transversale" (im ersten Sinn,
als Punktmenge betrachtet) auch im geometrischen
Sinn eine Transversale der Parallelenschar P. Vielleicht
ist dies auch der eigentliche Grund für diese Bezeich-
nungsweise einer Repräsentantenmenge.
> Wenn ich das richtig verstehe, müsste ich ja hier eine
> Vertreterabbildung definiert durch die unendlich vielen
> Parallelen definieren.
> Soweit ich das sehe haben wir uns mit Vertretermengen
> einmal beschäftigt.
>
> Wenn ich jetzt deine Tipps befolge, müsste ich so etwas
> erhalten für meine Äquivalenzklassen:
>
> x,a,b [mm] \in \IR [/mm] mit [x] = { y [mm] \in \IR [/mm] | y = ax+b } mit a
> beliebig aber fest.
Die Äquivalenzklassen müssen Teilmengen von [mm] \IR\times\IR
[/mm]
sein, und zwar genau die Geraden [mm] G_{a,b} [/mm] mit [mm] b\in\IR [/mm] .
Das a bleibt für die gesamte Aufgabe einfach konstant.
> Unser Tutor hat gestern nach Nachfrage an einem einfachen
> Beispiel gezeigt, dass man dann die Vertretermenge sich
> aussuchen kann.
Ja, anstatt der y-Achse könnte man auch jede beliebige
Gerade in der Ebene nehmen, die nicht selber zur Schar
P gehört, also eben im geometrischen Sinn eine Transversale
von P ist. Es müsste nicht einmal eine Gerade sein, sondern
z.B. eine geeignete Kurve oder sogar eine geeignete, aber
"wild zerstreute" Punktmenge.
> Könnte ich nun sagen die Vertretermenge ist für x,a = 0?
> Für alle Anderen fälle wäre es ja allgemein [x].
>
> Und ist das auch das selbe wie eine Vertreterabbildung.
>
> Dann wäre ja meine Partition auch [x] [mm]\cup(disjkunte[/mm]
> Vereinigung) = [mm]G_{a,b}.[/mm]
>
Sorry, aber bei diesen letzten Zeilen komme ich bezüglich
Bezeichnungen nicht recht klar ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Sa 09.11.2013 | | Autor: | yannikk |
Habe mal darüber geschlafen und jetzt verstehe ich was meine Transversale und die Partition sein soll.
Du hast es mir ja schon im Grunde gesagt, nur manchmal steht man auf dem Schlauch.
Danke nochmals!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 12.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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