Trapez-Simpsonregel-Beweis < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Sienna |
| Aufgabe | Seien [mm]T_n[/mm] bzw. [mm]S_n[/mm] die [mm]n\texttt{--te Summe}[/mm] der Trapez- bzw. Simpsonregel. Zeigen Sie, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] und [mm] f \in C[a, b] [/mm] gilt:
[mm] 4T_{2n} (f)- T_n(f) = 3S_{2n}(f) [/mm] |
Hallölle, ich bin's mal wieder!
Leider habe ich immer ziemlich große Schwierigkeiten bei den Theorieaufgaben, wie z.B. bei dieser hier.
Fürs Lösen habe ich mir gedacht:
1) Erstmal die [mm]T_n[/mm] hinschreiben (Problem: es stehen ja [mm]T_{2n}[/mm] und nicht [mm]T_n[/mm] da, sonst könnte ich es einfach abschreiben!!!)
2)Dasselbe natürlich mit [mm]S_n[/mm] (da gäbe es dann kein Problem)
-> damit meine ich also z.B. die Summenformel, die Ausformulierung davon.
3) Dann versuchen auszurechnen???
Alles würde aber halt nicht klappen, wenn ich dass mit den [mm]2n[/mm] nicht herauskriege, was damit gemeint ist.
Hoffe jemand hat eine Idee für mich!!!!!!!!!!!!!!!!!
Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende
Sienna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Sienna |
Hallöchen Zusammen,
so ich habe hier endlich mal alles zusammen gesammelt und stelle euch hiermit meinen Lösungsansatz vor und hoffe ganz doll, dass jemand ganz ganz kurz sagt
>>Richtig!<< oder auch (weniger erhofft) >>Falsch!<<
Also:
Es ist [mm] T_n(f)= \summe_{i=1}^{n} (1/2*(x_i - x_{i-1})*(f(x_{i-1})+f(x_i))[/mm]
also habe ich gefolgert:
[mm] T_{2n} (f) = \summe_{i=1}^{2n} 1/2*(x_i - x_{i-1})*(f(x_{i-1})+f(x_i))[/mm]
So habe ich dann also die erste Seite (mit [mm] 4*T_2n-T_n) [/mm] aufgestellt.
Die andere Seite lautet bei mir dann:
[mm]
S_n (f)= h/3 * ( \summe_{i=1}^{n/2} (f(x_{2i-2})+4f (x_{2i-1})+f(x_{2i})[/mm]
also kann man folgern:
[mm] S_2n (f)= h/3 * ( \summe_{i=1}^{n} (f(x_{2i-2}))+4f (x_{2i-1})+f(x_{2i})[/mm]
So, das ist also mein Ansatz und nun wollte ich, wenn mir jemand gesagt hat, ob das so stimmt die beiden Versuchen ineinander überzuführen (Falls bezügl. dazu jemand einen Tipp hat, freue ich mich auch!) 
Vielen Dank fürs Lesen!
Liebe Grüße Eva
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Hallo Eva,
dein Lösungsvorschlag ist FALSCH!
Ich möchte aber nicht gemein sein, im Kern tust du schon das Richtige. Du musst nur bedenken, dass bei [mm] $T_{2n}$ [/mm] das Intervall $[a;b]$ in $2n$ Teile zerlegt wird, bei [mm] $T_{n}$ [/mm] nur in $n$ Teile. Deshalb sollte bei der Summe [mm] $T_{2n}$ [/mm] die Stelle [mm] $x_n$ [/mm] in der Mitte des Intervalls sein, bei der zweiten Summe [mm] $T_{n}$ [/mm] sollte [mm] $x_n=b$ [/mm] gelten. Man muss also zunächst aufpassen wie man die Indices eindeutig auf die x-Werte verteilt.
Am besten beginnen wir mit
[mm] $T_{2n}$ [/mm] = [mm] $\frac{1}{2}$ $\sum_{i=1}^{2n}$ $(x_{i}-x_{i-1})$ $(f(x_{i-1})+f(x_{i}))$.
[/mm]
Jetzt denken wir daran, dass bei [mm] $T_n$ [/mm] die Intervalle doppelt so groß sind, so dass das erste Intervall (in den gerade verwendeten x-Werten gedacht) von [mm] $x_0$ [/mm] bis [mm] $x_2$ [/mm] geht. Das nächste geht von [mm] $x_2$ [/mm] bis [mm] $x_4$ [/mm] und so weiter. Das ergibt
[mm] $T_{n}$ [/mm] = [mm] $\frac{1}{2}$ $\sum_{i=1}^{n}$ $(x_{2i}-x_{2i-2})$ $(f(x_{2i-2})+f(x_{2i}))$.
[/mm]
Ich hoffe, du kannst meinen Gedanken folgen.
Bevor wir uns der eigentlichen Gleichung zuwenden, möchte ich [mm] $T_{2n}$, [/mm] etwas umformen, indem ich jeweils zwei aufeinanderfolgende Intervalle zusammenfasse. Statt [mm] $f(x_i)$ [/mm] schreibe ich ab jetzt nur noch [mm] $f_i$, [/mm] sonst blickt man nicht mehr durch. Du wirst außerdem einen scheinbar unnötigen Faktor 2 bemerken, ich wollte einfach nicht das [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] aus der Trapezformel überallhin mitschleppen.
Die ersten beiden Summanden von [mm] $2\cdot T_{2n}$ [/mm] sind
[mm] $(x_1-x_0)$ $(f_0+f_1)$ [/mm] und [mm] $(x_2-x_1)$ $(f_1+f_2)$. [/mm] Ihre Summe ist ausmultipliziert
[mm] $x_0f_1+x_1f_1-x_0f_0-x_0f_1+x_2f_1+x_2f_2-x_1f_1-x_1f_2=$
[/mm]
[mm] $=x_0f_1-x_0f_0-x_0f_1+x_2f_1+x_2f_2-x_1f_2$.
[/mm]
Der erste Term von [mm] $2\cdot T_{n}$ [/mm] ist
[mm] $(x_2-x_0)$ $(f_2+f_0)$ [/mm] = [mm] $x_2f_2+x_2f_0-x_0f_2-x_0f_0$.
[/mm]
Im Ausdruck [mm] $8T_{2n}-2T_{n}$ [/mm] trägt deshalb das Intervall [mm] $[x_0;x_2]$ [/mm] folgenden Anteil bei:
[mm] $4(x_1f_0-x_0f_0-x_0f_1+x_2f_1+x_2f_2-x_1f_2)-(x_2f_2+x_2f_0-x_0f_2-x_0f_0)$,
[/mm]
zusammengefasst ergibt das den recht sperrigen Ausdruck
[mm] $-3x_0f_0-4x_0f_1+1x_0f_2$ [/mm] + [mm] $4x_1f_0+0x_1f_1-4x_1f_2$ [/mm] - [mm] $1x_2f_0+4x_2f_1+3x_2f_2$.
[/mm]
Jetzt kommt der zentrale Trick der Aufgabe, denn damit du die Simpson-Regel für [mm] $S_{2n}$ [/mm] anwenden kannst, muss [mm] $x_1$ [/mm] genau in der Mitte zwischen [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] liegen, es gilt also die Beziehung
[mm] $2x_1=x_0+x_2$.
[/mm]
Damit kannst du aus dem langen Ausdruck [mm] $x_1$ [/mm] eliminieren und du erhältst
[mm] $-1x_0f_0-4x_0f_1-1x_0f_2$ [/mm] + [mm] $1x_2f_0+4x_2f_1+1x_2f_2$.
[/mm]
Soweit die linke Seite der zu zeigenden Gleichung.
Auf der rechten Seite steht [mm] $3S_{2n}$. [/mm] Ich nehme mal an, dass
[mm] $h=x_1-x_0$.
[/mm]
Der erste Summand von [mm] $3S_{2n}$ [/mm] ist deshalb
[mm] $3\frac{(x_2-x_0)}{6}(f_0+4f_1+f_2)$,
[/mm]
das ergibt ausmultipliziert
[mm] $\frac{1}{2}(-1x_0f_0-4x_0f_1-1x_0f_2$ [/mm] + [mm] $1x_2f_0+4x_2f_1+1x_2f_2)$.
[/mm]
Das ist genau die Hälfte des Beitrags, den das Intervall [mm] $[x_0;x_2]$ [/mm] zum Term [mm] $8T_{2n}-2t_{n}$ [/mm] liefert. Der Beitrag des Intervalls [mm] $[x_0;x_2]$ [/mm] ist also auf beiden Seiten der zu betrachtenden Gleichung identisch. Ebenso muss es sich für alle anderen Intervalle [mm] $[x_{2i-2};x_{2i}]$ [/mm] verhalten.
Ich denke das war's,
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Sienna |
Also ich habe das einfach nur mit den Indizes gemacht!
Allerdings nur bei n und nicht bei i, da ja bis 2n eingesetzt werden soll, halt nur das doppelte von n!
Merci
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Hallo Eva,
an deinen Indices wollte ich kritisieren, dass bei der Summe [mm] $T_{2n}$ [/mm] die Stelle [mm] $x_{2n}$ [/mm] gleich der Zahl $b$ ist. Bei der Summe [mm] $T_{n}$ [/mm] wäre es bei dir die Zahl [mm] $x_n$. [/mm] Wenn du jetzt [mm] $4T_{2n}-T_{n}$ [/mm] berechnen willst, darfst du aber nicht $b$ einmal mit [mm] $x_{2n}$ [/mm] und das andere Mal mit [mm] $x_n$ [/mm] bezeichnen.
Allein für sich sind die von dir verwendeten Formeln richtig. Aber wenn du die zwei Terme miteinander verrechnen möchtest, brauchst du eine einheitliche Nummerierung der x-Werte. Das habe ich so gelöst, dass ich bei [mm] $T_n$ [/mm] nur die Stellen mit geradem Index benutzt habe. Bei deiner Lösung hättest du nur die linke Hälfte des Intervalls $[a;b]$ berücksichtigt.
Kannst du meinen Einwand nachvollziehen?
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Sienna |
Hallo Hugo!
Erstmal vielen Dank für die große Hilfe.
Ich muss gestehen, dass ich erstmal ein bisschen über
deiner Lösung sitzen musste, um sie zu verstehen.
Ich kann deinen Einwand nachvollziehen, wäre aber nie selber auf die Lösung gekommen. Es kam mir schon komisch vor, dass ich ja einfach nur die Indices verändern musste, bei meiner Lösung und beim ineinander übergehen, kam ich einfach nicht vom einen ins andere.
DArum hab ich mir gedacht, dass es falsch ist, warum ist mir allerdings einfach nicht klar geworden.
Ich habe nochmal im Skript nachgeschaut, ob es mir dann einleuchtet,
warum man die Intervalle so trennt. Ich habe auch eine Zeichnung gefunden... Aber so ganz richtig weiß ich nicht genau, wie es dazu kommt, dass die Intervalle nicht richtig wären. Das ist vielleicht ziemlich seltsam formuliert. Nur weiß ich nicht so genau, wie ich die Frage umformulieren soll.
Das Problem mit den Intervallen und den Indices ist mir irgendwie nicht so ganz klar ;-(
Und nochmal vielen vielem Dank für deine Hilfe.
Liebe Grüße Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Sienna |
Nochmal kurz wegen des Lösungsweges -
ich bilde mir ein, dass ich den eigentlich verstanden habe.
Trotz dem Intervall und Indices-Problem, vielleicht täusche ich mich aber auch!
Grüße
Eva
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Hallo Eva,
möglicherweise hilft dir ein konkretes Zahlenbeispiel auf die Sprünge.
Wir nehmen an: $a=1$, $b=5$.
Dann gibt es in der Summe [mm] $T_1$ [/mm] nur zwei Stützstellen [mm] $x_0=1$ [/mm] und [mm] $x_1=5$, [/mm] denn du berechnest den Flächeninhalt einer einzigen Trapezfläche.
In der Summe [mm] $T_2$ [/mm] gibt es drei Stützstellen [mm] $x_0=1$, $x_1=3$ [/mm] und [mm] $x_2=5$, [/mm] so dass du zwei Trapeze erhältst.
In der Summe [mm] $T_4$ [/mm] gibt es vier Trapeze mit den fünf Stützstellen [mm] $x_0=1$, $x_1=2$, $x_2=3$, $x_3=4$ [/mm] und [mm] $x_4=5$.
[/mm]
Wenn du dir jetzt anschaust, für welchen x-Wert [mm] $x_0$ [/mm] steht, dann ist das immer gleich, egal durch wieviele Trapeze du dein Integral abschätzt. Im Gegensatz dazu benennt man aber mit [mm] $x_1$ [/mm] drei verschiedene x-Werte.
Somit kannst du in einer Formel, in der [mm] $T_4$ [/mm] und [mm] $T_2$ [/mm] enthalten sind, ein [mm] $x_1$, [/mm] das von [mm] $T_4$ [/mm] stammt, nicht mit einem [mm] $x_1$ [/mm] kürzen, das aus [mm] $T_2$ [/mm] stammt.
Um den Stützstellen unabhängig von der Anzahl der Trapeze immer denselben Index zu vergeben, habe ich die Stützstellen-Nummerierung von [mm] $T_4$ [/mm] hergenommen und diese auf die Trapez-Summen mit weniger Summanden übertragen. Deshalb müssten die Stützstellen 1,3,5 von [mm] $T_2$ [/mm] dann [mm] $x_0$, $x_2$ [/mm] und [mm] $x_4$ [/mm] heißen. Wenn man das tut, dann kann man ein [mm] $x_2$ [/mm] aus [mm] $T_2$ [/mm] mit einem [mm] $x_2$ [/mm] aus [mm] $T_4$ [/mm] zusammenfassen.
Kurz gesagt: die Namen [mm] $x_i$ [/mm] dürfen nicht vom Kontext abhängig sein. Weil der tatsächliche Wert eines [mm] $x_i$ [/mm] normalerweise davon abhängt, welche Anzahl von Trapezen ich verwende, müsste ich, sobald ich verschiedene solche Trapez-Summen miteinander verrechne, noch zum Namen [mm] $x_i$ [/mm] eine Angabe hinzufügen, aus welcher Summe dieses [mm] $x_i$ [/mm] stammt. Man könnte es ja [mm] $x_{i/n}$ [/mm] nennen, gelesen als: "x i von n". Dann ist [mm] $x_{1/3}$ [/mm] etwas anderes als [mm] $x_{1/4}$. [/mm] Ich nutze andererseits aus, dass [mm] $x_{1/2}$ [/mm] dasselbe ist wie [mm] $x_{2/4}$ [/mm] oder allgemein: [mm] $x_{i/n}=x_{2i/2n}$.
[/mm]
Weil es dich aber sicher komplett verwirrt hätte, wenn ich Brüche zur Nummerierung verwendet hätte, habe ich stattdessen die Indices der feinere Unterteilung von [mm] $T_{2n}$ [/mm] auf die gröbere Unterteilung von [mm] $T_n$ [/mm] übertragen.
Hugo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Sienna |
Hallo Hugo,
ich glaube jetzt habe ich es ziemlich genau verstanden!
Vielen Dank für das ganaue Erklären und das konkrete Beispiel.
Wenn es anschaulich ist, kann man es leichter verstehen.
Die letztere VAriante ist allerdings wirklich etwas verwirrend.
Also nochmal ein großes Dankeschön für deine Hilfe!!!!!
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende
Eva
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