Trapezregel & Simpson-Regel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Di 22.01.2008 | | Autor: | Desoka |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Integral [mm] Int(e^x) [/mm] von -1 bis 1 dx näherungsweise mittels der a) Trapezregel, b) der Simpson-Regel. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, hallo erst mal.
Bin eben auf des tolle Forum hier gestoßen.
Hoffe demnächst in den Fächern des Bauingenieurwesens weiterhelfen zu können und auch ein bischen Hilfe in Numerik zu erhalten.
Wie schon gesagt, studiere Bauingenieurwesen im 5ten Semester und habe so einige Probleme in Numerik. Das "durchrechnen" ist meist gar nicht das Problem sondern eher das Verständnis. Wie auch bei dieser Aufgabe.
Habe bis jetzt immer gedacht [mm] e^x [/mm] könne man nicht integrieren, bzw. = auch wieder [mm] e^x, [/mm] aber wie auch immer. Außerdem verstehe ich überhaupt nicht was hinter den Rechnungen steht. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Vielen Dank, Frank 
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Hallo!
Natürlich kann man [mm] e^x [/mm] integrieren, es geht ja schließlich darum, die Fläche unter der Kurve zu berechnen. Daß die Stammfunktion auch [mm] e^x [/mm] ist, ist eher ein Nebeneffekt.
Für manche Funktionen kannst du keine Stammfunktion finden, was aber nicht heißt, daß du nicht die Fläche unter ihnen bestimmen kannst. Hier fängt die numerische INtegration an.
Kennst du das Ober- und Untersummenverfahren, daß du sicher kennengelernt hast, als du dich das erste mal mit Integralen beschäftigt hast?
Um auf ein genaues Ergebnis zu kommen, benötigt man sehr, sehr schmale Rechtecke, und daher sehr viele. Etwas besser wird es, wenn du kein Rechteck nimmst, sondern ein Trapez, das mit beiden Ecken deinen graphen berührt. Hier kommst du schon mit weitaus weniger einzelnen Trapezen aus, um ein hinreichend genaues Ergebnis zu bekommen.
Letztendlich wird der Graph durch eine Grade approximiert, welche durch diese beiden Punkte, die Stützstellen geht.
Noch besser funktioniert das ganze, wenn man statt einer Grade versucht, eine Parabel durch die Funktion zu legen (Simpson). Hierfür benötigt man drei Stützstellen der Funktion, durch welche die Koeffizienten der Parabel ax²+bx+c bestimmt werden. Die Stammfunktion dieser parabel ist recht einfach, und somit kann man recht einfach auch die Fläche zwischen den beiden äußeren Stützstellen angeben.
Das prinzip ist eigentlich recht einfach zu verstehen, die Herleitung der zugehörigen Formeln ist etwas kompliziert und fehlerträchtig, aber letztendlich führt das zu einer einfachen Summe:
[mm] \int_a^b= \frac{b-a}{6}(f(a)+4*f(\frac{a+b}{2})+f(b))
[/mm]
Hier wird die Funktion durch genau eine einzige Parabel angenähert, wobei ein Stützpunkt bei x=a, einer bei x=b, und einer genau dazwischen ist.
Natürlich wirst du dein Intervall nicht nur mit einer Parabel annähern, sondern du wirst das ganze Intervall in viele kleine Intervalle zerlegen, für die du dieses Verfahren anwendest. Letztendlich sinkt der Rechenaufwand auch hier dadurch, daß die Parabel die Funktion viel besser annähert, als es die Grade des Trapezverfahrens oder die Stufen der Ober/Untersummen tun.
Sollst du die Aufgabe eigentlich am Rechner lösen? Per Hand ist das meist ein ziemliches gefummel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Desoka |
Hallo, vielen Dank für die Antwort!
Ja, müssen des in der Prüfung niederschreiben, nicht mit matlab.
Einige Fragen bleiben jedoch noch offen.
Warum kann ich zum Beispiel für das Integral von [mm] e^x [/mm] mir nicht einfach genau per Taschenrechner ausrechnen, das ist doch genauer als die ganzen Näherungsverfahren, weil der Fehler kleiner ist.
a und b ist ja klar, aber woher bekomme ich n?
Ist n die Anzahl der Stützpunke?
Irgendwie steht in jeder Formelsammlung was anderes dass ich mitlerweile den Überblick verliere...
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass ihr zur Übung grade [mm] e^x [/mm] gekriegt habt ist schon ein recht abgefahrenes Beispiel. aber [mm] e^{x^2} [/mm] kann man schon nicht mehr direkt integrieren.
An dem Beispiel solltest du dich nicht so sehr stören. es ist auch so gedacht, dass ihr hinterher leicht überprüfen könnt, wie gut die angenäherte Rechnung ist, eben genau mit dem TR.
Wichtig ist, dass man die Idee versteht, und das Vorgehen, das sollt ihr an diesem zweifellos selbst unnützen Beispiel tun. Wenn man das Verfahren für eine Funktion kapiert hat, kann mans leicht für alle anwenden.
Zu den n teilen, in die man das Intervall unterteilen kann: je mehr, desto besser, d.h. genauer wird das Ergebnis. Wenn du es auf 10 Stellen hinter dem Komma brauchst, ist n schon recht groß, dann sollte man es auch nicht mehr ohne Programm tun. wenn dus nur auf 3 gültige Stellen brauchst reich schon ne kleine Zahl! Und für ne Klausur wahrscheinlich gar keine Unterteilung, oder eine in 2 bis 3 Teile. Probiers für dein Integral mit n=2 aus, mal Trapez, mal Simpson, und vergleich mit dem "richtigen" Ergebnis (denk dran auch um [mm] e^x [/mm] auszurechnen benutzt der TR ein numerisches Verfahren! Niemand kann [mm] e^x [/mm] für irgendein x ausser x=0 einfach selbst ausrechnen!)
Die verwirrenden Formeln kommen wohl daher, dass einige nur einen Schritt zeigen, andere gleich n.
Stell dir einfach vor, du unterteilst das Integral von a bis b in n Integrale, jedes davon rechnest du in einem Schritt, die Formel für Simpson dafür hat dir EH aufgeschrieben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Desoka |
Vielen Dank für die Antwort!
Achso, na das erklärt natürlich einiges ;-D
Aber immer noch folgendes Problem.
Mit der Formel [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=(b-a)/2*(f(a)+f(b)) [/mm] komme ich gut mit den Ergebnissen der Musterlösungen parat.
Jetzt wollte ich mal in diese Formel hier =h/2*(f(x0)+2f(x1)+2f(x2) ... ) das gleiche probieren, für nur einen Abschnitt, also n=1.
Aber woher weiß ich wann ich mit x0, x1, x2, x3 usw. aufhören muss, das könnte man ja unendlich lange so weitermachen, aber mit n=1 habe ich die "Schritte" doch eigentlich schon eingegrenzt.
Oder kann man aus der "längeren" Formel irgendwie auf die "kurze" schließen?
Gruss, Frank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit den ...übersieht man, dass das letzte nur [mm] f(x_n) [/mm] ist und nicht mehr die 2 hat.
dann hast du für n=1 dieselbe Formel wie vorher. statt f(a) [mm] f(x_0) [/mm] statt f(b) [mm] f(x_n) [/mm] (n=1) und h=(b-a)/n=b-a also nix neues.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:36 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Desoka |
Super, jetzt passt alles.
DANKE!
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Hallo
hast du das mit der Trapezformel verstanden und wie man das damit rechnet ich muss den Umfang der Ellipse berechnen und bekomme den Wert 9.44. Ich wollte jetzt das mittels trapezregel annähren und weis nicht wie das geht. Ich habe schon püberall nachgeschaut und habe trotzdem meine schwierigkeiten.
ich möchte n=2 berechne
Ich weis nicht wie ich die Formel verändern muss und weisnicht wie ich das Intervall vom Integral verändern musss
Und noch eien Frage:
[mm] \summe_{i=0}^{n-1}f(xi)+f(xi+1)/2*h=h/2(f(x0)+2(f((xn-1)f(xn))
[/mm]
Ist diese Trapezregelformel richtig
danke
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> Hallo
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> hast du das mit der Trapezformel verstanden und wie man das
> damit rechnet ich muss den Umfang der Ellipse berechnen und
> bekomme den Wert 9.44. Ich wollte jetzt das mittels
> trapezregel annähren und weis nicht wie das geht. Ich habe
> schon püberall nachgeschaut und habe trotzdem meine
> schwierigkeiten.
Hallo,
ich verstehe nicht, warum Du das mit Deiner Ellipse jetzt an dieser Stelle postest.
Du hattest diese Frage doch schon längst hier gestellt.
Dort hattest Du auch Antworten bekommen.
Warum fragst Du nicht dort nach?
Somebody hatte Dir dort doch sogar ein schönes Bildchen eingestellt,
und ich möchte Dich bitten, weitere Fragen zur Ellipse dort zu stellen.
> ich möchte n=2 berechne
>
> Ich weis nicht wie ich die Formel verändern muss und
> weisnicht wie ich das Intervall vom Integral verändern
> musss
Dann teilst Du da Intervall [a,b] in zwei Teile, erhältst die drei Stürzstellen [mm] x_0=a, x_1=a+\bruch{b-a}{2}=\bruch{a+b}{2}, x_2=b [/mm] und berechnstst für [mm] h=\bruch{b-a}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{f(x_0)+f(x_1)}{2}*h [/mm] + [mm] \bruch{f(x_1)+f(x_2)}{2}*h [/mm] .
Hast Du Dir den im anderen Thread verlinkten Wikipedia Artikel denn mal angeschaut?
Hast Du Dir mal eine Funktion aufgemalt, z.B. n=4 eingezeichnet und die zugehörigen Trapezflächen? Anders wirst Du es nicht begreifen können.
>
> Und noch eien Frage:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n-1}f(xi)+f(xi+1)/2*h=h/2(f(x0)+2(f((xn-1)f(xn))[/mm]
>
> Ist diese Trapezregelformel richtig
Eher nicht.
Ich mach Dir nochmal ein Beispiel für n=7.
das Intervall sei wieder [a,b]. Es wird in 7 gleiche teilintervalle der Breite [mm] h=\bruch{b-a}{7} [/mm] geteilt.
Die Stützstellen sind [mm] x_0=a+0*h=a x_1=a+1*h, x_2=a+2*h, [/mm] ..., [mm] x_6=a+6*h, x_7=a+7*h=b.
[/mm]
Die Fläche unter dem Graphen f kannst Du annähern durch
[mm] \bruch{f(x_0)+f(x_1)}{2}*h+\bruch{f(x_1)+f(x_2)}{2}*h+\bruch{f(x_2)+f(x_3)}{2}*h+\bruch{f(x_3)+f(x_4)}{2}*h+\bruch{f(x_4)+f(x_5)}{2}*h+\bruch{f(x_5)+f(x_6)}{2}*h+\bruch{f(x_6)+f(x_7)}{2}*h, [/mm] das Ausklammern und Zusammenfassen sei Dir überlassen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Danke für deine Erklärung. Dieses Problem habe ich schon selber gelöst
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