Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Zunächst mal vielen Dank für die Hilfe im anderen Thread, ihr macht ja immer dicht, bevor man sich bedanken kann ;)
Also ich habe hier eine ganz ähnliche Aufgabe, und finde meinen Fehler beim Lösen nicht:
[mm] y' = \bruch{2xy}{x^2+y^2} [/mm]
Substitution z = y/x --> y=zx ==> y' = z + z'x
[mm] z + z'x = \bruch{2z}{1+z^2} [/mm]
[mm] \gdw z'x = \bruch{2z}{1+z^2} - z = \bruch{z^3+z}{1+z^2} [/mm]
So, jetzt multipliziere ich mit dx/x und dem Kehrwert der rechten Seite und erhalte
[mm] \bruch{1+z^2}{z^3+z} dz = dx/x [/mm]
Womit es auch schon ans integrieren gehen sollte. Ich sehe dass ich den linken Teil vereinfachen kann:
[mm] \bruch{1+z^2}{z^3+z} = \bruch{1+z^2}{z(z^2+1)} = \bruch{1}{z} [/mm]
Wodurch man sofort integrieren kann zu
ln|z| = ln|x| + ln|c|
==> c = z/x
und hier sieht man schon, das es falsch ist, die Lösung sollte sein:
Cy = x²-y²
Was habe ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Cisc0,
> Zunächst mal vielen Dank für die Hilfe im anderen Thread,
> ihr macht ja immer dicht, bevor man sich bedanken kann ;)
Das verstehe ich nicht ganz 
> Also ich habe hier eine ganz ähnliche Aufgabe, und finde
> meinen Fehler beim Lösen nicht:
>
> [mm]y' = \bruch{2xy}{x^2+y^2}[/mm]
>
> Substitution z = y/x --> y=zx ==> y' = z + z'x
>
> [mm]z + z'x = \bruch{2z}{1+z^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw z'x = \bruch{2z}{1+z^2} - z = \bruch{z^3+z}{1+z^2}[/mm]
Hier ist wohl ein Vorzeichenfehler. Der die nachfolgende Rechnung etwas komplizierter macht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Oha, das hätte ich eigentlich schon beim abtippen merken müssen.
Rechne ich dann so richtig zu ende?
Es steht da natürlich
[mm] \bruch{1+z^2}{z(1-z^2)}dz = \bruch{1}{x} dx [/mm]
Dann integriere ich, indem ich die linke Seite wieder mit dem Trick aus dem anderen Thread in zwei Brüche trenne:
[mm] \integral{\bruch{1}{z}}dz + \integral{\bruch{2z}{1-z^2}}dz = \integral{\bruch{1}{x}}dx[/mm]
Und das müsste sein
ln|z| - ln|1-z²| = ln|x| + ln|C|
ln|C| = ln|z| - ln|1-z²| - ln|x|
[mm]\Rightarrow C = \bruch{z}{(1-z^2)x} [/mm]
Wenn ich nun resubstituiere und mich nicht verrechnet habe, kriege ich
[mm]C = \bruch{y}{x^2-y^2}[/mm]
Das ist ja schon verdammt nah dran ;)
Ich vermute mal, ich kann das umformulieren zu Cy = x² -y², wenn ich einfach ein "anderes C" nehme, oder sollte ich mich wieder verrechnet haben?
Dann habe ich noch eine letzte Rückfrage zu diesem C. Ich weiß es ist die Integrationskonstante, ich weiß ich schreibe statt C direkt ln|C| weil ich damit nachher leichter rechnen kann, dennoch ist mich nicht ganz klar, warum es immer nur auf einer der Seiten auftaucht, obwohl ich doch eigentlich 3 Integrale berechne.. Denn so ganz egal scheint das Vorzeichen ja nicht zu sein.
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Hallo Cisc0,
Ich sehe erstmal keinen Fehler. Das mit dem anderen C kannst Du machen und dann p/q Formel.
Mehrere frei wählbare Konstanten machen keinen Sinn weil man die zu einer zusammenfassen kann. Die Summe von frei wählbaren Konstanten ergibt wieder eine frei wählbare Konstante.
viele Grüße
mathemaduenn
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