Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \wurzel{a^{2} - y(x)^{2}} [/mm] |
Ich muss diese Differentialgleichung durch Trennung der Variablen lösen. Dazu muss ich erstmal die Wurzel wegkriegen und beide Seiten quadrieren - aber was steht dann auf der linken Seite statt [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] ? Und wie geht es dann weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo WernerHeisenberg,
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\wurzel{a^{2} - y(x)^{2}}[/mm]
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> Ich muss diese Differentialgleichung durch Trennung der
> Variablen lösen. Dazu muss ich erstmal die Wurzel
> wegkriegen und beide Seiten quadrieren - aber was steht
> dann auf der linken Seite statt [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] ? Und wie
> geht es dann weiter?
>
Hier steht doch:
[mm]\bruch{dy}{dx}=\wurzel{a^{2}-y^{2}}[/mm]
Umgeformt:
[mm]\bruch{dy}{\wurzel{a^{2}-y^{2}}}=dx[/mm]
Nun beide Seiten integrieren.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ich verzweifle an der Integration von [mm] \bruch{1}{\wurzel{a^2 - y^2}}
[/mm]
Normalerweise nutzt man ja hier die Integration durch Substitution.
z = [mm] a^2 [/mm] - [mm] y^2
[/mm]
Also [mm] \bruch{dz}{dy} [/mm] = -2y
Daraus folgt [mm] \bruch{dz}{-2y} [/mm] = dy
Einsetzen ergibt also für das Integral:
[mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{z}}*\bruch{dz}{-2y}
[/mm]
Die Lösung hiervon ist: - [mm] \bruch{\wurzel{z}}{y} [/mm] und damit - [mm] \bruch{\wurzel{{a^2 - y^2}}}{y}
[/mm]
Das ist aber falsch laut meinem Lösungsblatt. Was mache ich falsch?
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Hallo WernerHeisenberg,
> Ich verzweifle an der Integration von [mm]\bruch{1}{\wurzel{a^2 - y^2}}[/mm]
>
> Normalerweise nutzt man ja hier die Integration durch
> Substitution.
>
> z = [mm]a^2[/mm] - [mm]y^2[/mm]
>
> Also [mm]\bruch{dz}{dy}[/mm] = -2y
>
> Daraus folgt [mm]\bruch{dz}{-2y}[/mm] = dy
>
> Einsetzen ergibt also für das Integral:
>
> [mm]\integral_\bruch{1}{\wurzel{z}*{dz}{-2y}}[/mm]
>
Ziel ist doch, den Integranden so einfach wie möglich zu machen.
Das erreichst Du z.B. mit der Substitution [mm]y=a*\sin\left(t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Meine Lösung ist (sorry für den Unfug gerade):
- [mm] \bruch{\wurzel{{a^2 - y^2}}}{y}
[/mm]
Das ist aber falsch. Ich weiß einfach nicht, wo mein Fehler liegt und wie ich anders vorgehen sollte.
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Hallo WernerHeisenberg,
> Meine Lösung ist (sorry für den Unfug gerade):
>
> - [mm]\bruch{\wurzel{{a^2 - y^2}}}{y}[/mm]
>
> Das ist aber falsch. Ich weiß einfach nicht, wo mein
> Fehler liegt und wie ich anders vorgehen sollte.
Dann poste doch Deine bisherigen Rechenschritte.
Nur dann können wir den Fehler finden.
Gruss
MathePower
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Das habe ich bereits, siehe:
https://matheraum.de/read?i=834306
Die Lösung von
[mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{z}}*\bruch{dz}{-2y}
[/mm]
ist:
- [mm] \bruch{\wurzel{{a^2 - y^2}}}{y}
[/mm]
also muss der Fehler vorher gemacht worden sein.
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Hallo WernerHeisenberg,
> Das habe ich bereits, siehe:
>
> https://matheraum.de/read?i=834306
>
> Die Lösung von
>
> [mm]\integral \bruch{1}{\wurzel{z}}*\bruch{dz}{-2y}[/mm]
>
> ist:
>
> - [mm]\bruch{\wurzel{{a^2 - y^2}}}{y}[/mm]
>
> also muss der Fehler vorher gemacht worden sein.
Ok, fangen wir von vorne an.
Gesucht ist: [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a^{2}-y^{2}}} \ dy}[/mm]
Zu diesem Zweck machen wir die Substitution [mm]y=a*\sin\left(t\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \ dy=a*\cos\left(t\right) \ dt[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a^{2}-y^{2}}} \ dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a^{2}-a^{2}*\sin^{2}\left(t\right)}}} \ a*\cos\left(t\right) \ dt}[/mm]
So und jetzt bist Du wieder dran.
Gruss
MathePower
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Ich hab den Schritt überhaupt nicht verstanden.
Warum substituieren wir denn bitteschön [mm] y=a\cdot{}\sin\left(t\right) [/mm] ?
Ich hab die Integration durch Substitution so verstanden, dass man einen Term des Integrals einfach durch ein "z" ersetzt und mit diesem z einfach weiterrechnet, wie ich das versucht habe.
Warum geht das hier nicht? Und warum substituierst du [mm] y=a\cdot{}\sin\left(t\right)? [/mm] Ich versteh das wirklich überhaupt nicht. Im Übrigen sieht der Term jetzt noch komplizierter und (für mich) unlösbar aus. Ich studiere gerade mal seit 3 Wochen...
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Hallo WernerHeisenberg,
> Ich hab den Schritt überhaupt nicht verstanden.
>
> Warum substituieren wir denn bitteschön
> [mm]y=a\cdot{}\sin\left(t\right)[/mm] ?
>
Nun, damit der Integrand einfacher wird.
> Ich hab die Integration durch Substitution so verstanden,
> dass man einen Term des Integrals einfach durch ein "z"
> ersetzt und mit diesem z einfach weiterrechnet, wie ich das
> versucht habe.
>
> Warum geht das hier nicht? Und warum substituierst du
> [mm]y=a\cdot{}\sin\left(t\right)?[/mm] Ich versteh das wirklich
> überhaupt nicht. Im Übrigen sieht der Term jetzt noch
> komplizierter und (für mich) unlösbar aus. Ich studiere
> gerade mal seit 3 Wochen...
>
Das Integral wird mit Hilfe des trigonometrische Pythagoras
[mm]\sin^{2}\left(t\right)+\cos^{2}\left(t\right)=1[/mm]
lösbar.
Gruss
MathePower
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Warum funktioniert dann "mein Weg" mit dem z nicht? War das nicht korrekt angewandt?
Ich komme mit deiner Funktion immer noch nicht weiter. Es ist echt zum Verrücktwerden...ich weiß, man sollte nicht darum bitten, dass einem alles vorgerechnet wird aber hier seh ich wirklich keinen anderen Weg, um es zu verstehen.
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Hallo WernerHeisenberg,
> Warum funktioniert dann "mein Weg" mit dem z nicht? War das
> nicht korrekt angewandt?
>
Korrekt lautet Dein substituiertes Integral so:
[mm]\integral \bruch{1}{\wurzel{z}}\cdot{}\bruch{dz}{-2y} =\integral \bruch{1}{\wurzel{z}}\cdot{}\bruch{1}{-2\wurzel{a^{2}-z}} \ dz[/mm]
Die Integration dieses Integranden ist möglich.
> Ich komme mit deiner Funktion immer noch nicht weiter. Es
> ist echt zum Verrücktwerden...ich weiß, man sollte nicht
> darum bitten, dass einem alles vorgerechnet wird aber hier
> seh ich wirklich keinen anderen Weg, um es zu verstehen.
Es ist doch:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a^{2}-y^{2}}} \ dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a^{2}-a^{2}\cdot{}\sin^{2}\left(t\right)}}} \ a\cdot{}\cos\left(t\right) \ dt} = \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{a^{2}\cos^{2}\left(t\right)}}} \ a\cdot{}\cos\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}{\bruch{1}{a\cdot{}\cos\left(t\right)} \ a\cdot{}\cos\left(t\right) \ dt}=\integral_{}^{}{1 \ dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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Danke! Mir ist nun einiges klarer geworden. Das Integral, das du ausgerechnet hast, darauf bin ich sogar gekommen. Nur weiß ich einfach nicht, was ich jetzt damit Anstellen soll.
Das Integral von 1 dt ist ja einfach t plus die Integrationskonstante. Aber wie muss ich dann weitermachen?
Wie komme ich davon auf die Lösung [mm] tan^-1(\bruch{y}{\wurzel{a^2 - y^2}})?
[/mm]
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Hallo WernerHeisenberg,
> Danke! Mir ist nun einiges klarer geworden. Das Integral,
> das du ausgerechnet hast, darauf bin ich sogar gekommen.
> Nur weiß ich einfach nicht, was ich jetzt damit Anstellen
> soll.
>
> Das Integral von 1 dt ist ja einfach t plus die
> Integrationskonstante. Aber wie muss ich dann
> weitermachen?
Es kommt doch heraus: [mm]\arcsin\left(\bruch{y}{a}\right)[/mm]
Weiterhin gilt der Zusammenhang:
[mm]\arcsin\left(\bruch{y}{a}\right)=\arctan(\bruch{y}{\wurzel{a^2 - y^2}}) [/mm]
> Wie komme ich davon auf die Lösung
> [mm]tan^-1(\bruch{y}{\wurzel{a^2 - y^2}})?[/mm]
Gruss
MathePower
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Super! Ich kannte nur den letzten Zusammenhang nicht.
Jetzt ist mir alles klar, denke ich. Vielen lieben Dank!
Kannst du mir denn einige Tipps geben, wie man richtig substituiert? Du hast sofort die Beziehungen erkannt, indem du mit dem Sinus substituiert hast. Ich wäre da niemals von alleine draufgekommen. Gibt es da irgendwelche Regeln?
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Hallo WernerHeisenberg,
> Super! Ich kannte nur den letzten Zusammenhang nicht.
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> Jetzt ist mir alles klar, denke ich. Vielen lieben Dank!
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> Kannst du mir denn einige Tipps geben, wie man richtig
> substituiert? Du hast sofort die Beziehungen erkannt, indem
> du mit dem Sinus substituiert hast. Ich wäre da niemals
> von alleine draufgekommen. Gibt es da irgendwelche Regeln?
In der Formelsammlung sollte so etwas stehen.
Gruss
MathePower
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