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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 So 19.04.2009 | | Autor: | xPae |
| Aufgabe | Ein K¨orper der Anfangstemperatur T(0) = T0 = 50°C k¨uhlt bei Eintauchen in
einen großen Wasserbeh¨alter der konstanten Temperatur U = 20°C innerhalb
von 2 Minuten auf 34°C ab. Die Funktion T(t), welche den zeitlichen Temperaturverlauf
des K¨orpers beschreibt, gen¨uge dem Newtonschen Abk¨uhlungsgesetz
T'(t) = −k (T(t) − U)
mit einer positiven Konstanten k.
Ermitteln Sie die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt t = 3 min. |
Hallo, habe letztens die Einführung in das Lösen von Differentialgleichungen gehört. Wollte mal überprüfen lassen, ob ich das richtig gemacht ahbe :)
:
T'(0)=-k*(T(t)-U)
[mm] \bruch{dT}{dt}=-k*(T(t)-U)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dT}{T(t)-U}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{-kdt}
[/mm]
|ln(T(t)-U)| + [mm] C_{1}=-k*t
[/mm]
da ich ja die Anfangstemperatur [mm] T_{a} [/mm] zum Zeitpunkt t=0 kenne kann ich doch C ausrechnen:
[mm] C=\bruch{1}{k}*ln(T_{a}-U)
[/mm]
das jetzt einsetzten ergibt:
[mm] t=-\bruch{1}{k}*ln(T(t)-U) [/mm] + [mm] \bruch{1}{k}*ln(T_{a}-U) [/mm]
[mm] t*k=ln(\bruch{T_{a}-U}{T(t)-U})
[/mm]
[mm] e^{t*k}= \bruch{T_{a}-U}{T(t)-U}
[/mm]
[mm] e^{-t*k}= \bruch{T(t)-U}{T_{a}-U}
[/mm]
diese Umformung habe ich gemacht, da man sonst ja nicht an T(t) "herankommt" einfach auf beiden seiten den Kehrbruch gebildet, hoffe das ist in Ordnung.
dann folgt durch umformen:
[mm] T(t)=U+(T_{a}-U)*e^{-kt}
[/mm]
Jetzt kann ich doch durch einsetzen ganz einfach k ermitteln und dann die Temperatur des Körpers nach 3 min ermitteln oder?
scheint mir am besten über:
[mm] k=\bruch{1}{t}*ln(\bruch{T_{a}-U}{T(t)-U}) [/mm]
zu gehen ?
LG xPae
schönen sonntag
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xPae!
Wenn ich bereits in diesem Stadiom den Anfangswert einsetzte, erhalte ich:
[mm] $$\ln\left|T(0)-U\right| +C_1 [/mm] \ = \ -k*0$$
[mm] $$\ln\left|T_a-U\right|+C_1 [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$C_1 [/mm] \ = \ [mm] -\ln\left|T_a-U\right|$$
[/mm]
Hier ist also kein $k_$ mehr enthalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 19.04.2009 | | Autor: | xPae |
Ich habe ja vorher durch k geteilt, ich dachte, dass C durch k , ja wieder eine konstante ergeben müsste.
Ist dem nicht so? Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xPae!
> Ich habe ja vorher durch k geteilt, ich dachte, dass C
> durch k , ja wieder eine konstante ergeben müsste.
Aber dann habe ich doch auch den Faktor [mm] $\bruch{1}{k}$ [/mm] bei dem [mm] $\ln(...)$-Term.
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:37 So 19.04.2009 | | Autor: | xPae |
Ja und das kann ich doch dann ausklammern , nachdem ich C eingesetzt habe.
Oder reden wir gerade aneinander vorbei? =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xPae!
Bitte rechne doch mal hier Schritt für Schritt vor. Dann solltest Du selber erkennen, dass das $k_$ "auf der Strecke bleibt".
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 19.04.2009 | | Autor: | xPae |
Ok dann lege ich mal los: :)
[mm] ln(T(t)-U)+C_{1}=-k*t
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{k}*ln(T(t)-U)+C_{2}=t
[/mm]
bis hierhin war ja alles klar:
Um das C auszurechnen jetzte ich t=0, dann wird [mm] T(t)=T_{a}, [/mm] die Anfangstemperatur:
Erstmal umformen:
[mm] C_{1}/k [/mm] = [mm] C_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{k}*ln(T(t)-U)+C_{2}=t [/mm]
"Einsetzen"
[mm] 0=\bruch{-1}{k}*ln(T_{a}-U)+C_{2}
[/mm]
[mm] C_{2}= \bruch{1}{k}*ln(T_{a}-U)
[/mm]
Jetzt das C einsetzten:
[mm] \bruch{-1}{k}*ln(T(t)-U)+C_{2}=t
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{k}*ln(T(t)-U)+ \bruch{1}{k}*ln(T_{a}-U)=t
[/mm]
[mm] \bruch{1}{k} [/mm] ausklammern:
[mm] \bruch{1}{k}(ln(T_{a}-U)-ln(T(t)-U)=t
[/mm]
[mm] ln(\bruch{T_{a}-U}{T(t)-U})=k*t
[/mm]
[mm] \bruch{T_{a}-U}{T(t)-U})=e^{k*t}
[/mm]
[mm] \bruch{T(t)-U}{T_{a}-U)}=e^{-k*t}
[/mm]
[mm] T(t)=U+(T_{a}-U)*e^{-k*t}
[/mm]
so bin ich darauf gekommen ;)
Die C's müsste man ja gleichsetzen können, da ich beide Male durch k geteilt haben.
Danke für Deine Mühe
xPae
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 So 19.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo xPae!
> ln(T(t)-U)+C=-k*t
> [mm]\bruch{-1}{k}*ln(T(t)-U)+C=t[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es muss hier heißen:
[mm] $$-\bruch{1}{k}*\red{\left[}\ln|T(t)-U|+C\red{\right]} [/mm] \ = \ t$$
[mm] $$-\bruch{1}{k}*\ln|T(t)-U|-\bruch{1}{k}*C [/mm] \ = \ t$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 19.04.2009 | | Autor: | xPae |
Ja schon, aber weiter unten, da , wo ich meine Anfangstemperatur einsetze heißt es ja auch [mm] \bruch{-1}{k}*C [/mm] und das müsste doch das gleiche sein.
Ich ändere mal in meinem Rechenweg die Konstanten-Namen.
Vllt sieht man dann besser was ich meine
Naja vllt versuche ich es nochmal über deinen Weg :)
sorry, dass es jetzt so eine lange Diskussion geworden ist.
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Hallo xPae,
> Ja schon, aber weiter unten, da , wo ich meine
> Anfangstemperatur einsetze heißt es ja auch [mm]\bruch{-1}{k}*C[/mm]
> und das müsste doch das gleiche sein.
> Ich ändere mal in meinem Rechenweg die Konstanten-Namen.
> Vllt sieht man dann besser was ich meine
> Naja vllt versuche ich es nochmal über deinen Weg :)
Mir ist etwas anderes aufgefallen:
Zwischen
[mm]ln(T(t)-U)+C_{1}=-k\cdot{}t[/mm]
und
[mm]\bruch{-1}{k}\cdot{}ln(T(t)-U)+C_{2}=t[/mm]
ist die neue Konstante
[mm]C_{2}:=\red{-}\bruch{C_{1}}{k}[/mm]
zu definieren.
Die Funktion
[mm]T(t)=U+(T_{a}-U)\cdot{}e^{-k\cdot{}t}[/mm]
stimmt, so daß jetzt k bestimmt werden kann.
>
> sorry, dass es jetzt so eine lange Diskussion geworden ist.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 So 19.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo xPae
Was du tust, bzw. getan hast ist voellig richtig. waere natuerlich auch mit C1 statt C2 gegangen.
Kurz dein vorgehen war nicht ganz das "uebliche" aber 100% richtig.
Gruss leduart
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Stelle nun nach $T(t) \ = \ ...$ um.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
