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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 So 19.04.2009 | | Autor: | xPae |
| Aufgabe | Aufgabe 26
Eine Bakterienpopulation wird der Wirkung eines Toxins T ausgesetzt, wobei
die durch T bewirkte Todesrate sowohl proportional der Anzahl u(t) der zum
Zeitpunkt t noch lebenden Bakterien wie auch proportional der Menge T(t) des
zu dieser Zeit vorhandenen Toxins sei. Die nat¨urliche Vermehrung der Bakterien
bei Abwesenheit von T erfolge exponentiell, so daß insgesamt gilt
u'(t) = [mm] (\gamma [/mm] − [mm] \rho [/mm] T(t)) u(t), mit positiven Konstanten
[mm] \gamma [/mm] und [mm] \rho.
[/mm]
Sei nun T(t) = at, mit einer Konstanten a > 0.
a) Begründen Sie aus der Differentialgleichung, daß die Bakterienpopulation
bis zur Zeit [mm] \bruch{\gamma}{a*\rho} [/mm] noch wachsen, dann aber abnehmen wird.
b) Ermitteln Sie die Lösung der Differentialgleichung für u(0) = u0. |
Hallo, komme hier leider nicht wirklich weiter:
[mm] \bruch{du}{dt}=(\gamma [/mm] − [mm] \rho [/mm] T(t)) u(t)
[mm] \bruch{du}{u(t)}= (\gamma-\rho*a*t) [/mm] dt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{du}{u(t)}}= \integral_{}^{}{(\gamma-\rho*a*t) dt }
[/mm]
[mm] ln(u(t))+C_{1}=\gamma*t-\bruch{\rho*a*t²}{2}
[/mm]
und jetzt weiß ihc nicht wirklich weiter, denn wenn ich jetzt den ln "entferne" , dann folgt ja:
[mm] u(t)+C_{2}=e^{\gamma*t}-e^{\bruch{\rho*a*t²}{2}}
[/mm]
aber damit kann ich jetzt wenig anfangen , bitte um Hilfe
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Aufgabe 26
> Eine Bakterienpopulation wird der Wirkung eines Toxins T
> ausgesetzt, wobei
> die durch T bewirkte Todesrate sowohl proportional der
> Anzahl u(t) der zum
> Zeitpunkt t noch lebenden Bakterien wie auch proportional
> der Menge T(t) des
> zu dieser Zeit vorhandenen Toxins sei. Die nat¨urliche
> Vermehrung der Bakterien
> bei Abwesenheit von T erfolge exponentiell, so daß
> insgesamt gilt
> u'(t) = [mm](\gamma[/mm] − [mm]\rho[/mm] T(t)) u(t), mit positiven
> Konstanten
> [mm]\gamma[/mm] und [mm]\rho.[/mm]
> Sei nun T(t) = at, mit einer Konstanten a > 0.
> a) Begründen Sie aus der Differentialgleichung, daß die
> Bakterienpopulation
> bis zur Zeit [mm]\bruch{\gamma}{a*\rho}[/mm] noch wachsen, dann
> aber abnehmen wird.
> b) Ermitteln Sie die Lösung der Differentialgleichung für
> u(0) = u0.
> Hallo, komme hier leider nicht wirklich weiter:
>
> [mm]\bruch{du}{dt}=(\gamma[/mm] − [mm]\rho[/mm] T(t)) u(t)
> [mm]\bruch{du}{u(t)}= (\gamma-\rho*a*t)[/mm] dt
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{du}{u(t)}}= \integral_{}^{}{(\gamma-\rho*a*t) dt }[/mm]
>
> [mm]ln(u(t))+C_{1}=\gamma*t-\bruch{\rho*a*t²}{2}[/mm]
>
> und jetzt weiß ihc nicht wirklich weiter, denn wenn ich
> jetzt den ln "entferne" , dann folgt ja:
>
> [mm]u(t)+C_{2}=e^{\gamma*t}-e^{\bruch{\rho*a*t²}{2}}[/mm]
>
Hier ist es nicht richtig, das entfernen des ln führt zu
[mm] u(t)=Ke^{\gamma*t-\bruch{\rho*at^2}{2}}
[/mm]
Jetzt kann man sich überlegen wie lang diese Funktion noch wächst.
> aber damit kann ich jetzt wenig anfangen , bitte um Hilfe
> danke
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 19.04.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo und danke,
also differenziere ich, schaue mir an, wo die Steigung 0 wird. Und überprüfe dann mein Ergebnis mit der zweiten Ableitung. Kann ja kein Extrema sein.
oder kann ich hier anders herangehen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
nein, so wird es gehen. Viel Glück
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 19.04.2009 | | Autor: | xPae |
Hi habe
[mm] u'(t)=e^{\gamma*t-\bruch{\rho*a*t²}{2}}*(\gamma-\rho*a*t)
[/mm]
[mm] 0=e^{\gamma*t-\bruch{\rho*a*t²}{2}}*(\gamma-\rho*a*t)
[/mm]
der erste Therm kann nicht 0 werden, daher gilt:
[mm] \gamma-\rho*a*t=0
[/mm]
[mm] t=\bruch{\gamma}{a*\rho}
[/mm]
Jetzt kann ich doch einfach einmal ein kleineres und ein größeres t einsetzen:
zum beispiel:
kleiner:
[mm] t=\bruch{\gamma}{2*a*\rho}
[/mm]
[mm] \gamma-\rho*a*\bruch{\gamma}{2*a*\rho} [/mm] = [mm] \gamma -\bruch{\gamma}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\gamma}{2} [/mm]
größer
[mm] t=\bruch{\gamma*2}{*a*\rho}
[/mm]
[mm] \gamma-\rho*a*\bruch{2*\gamma}{*a*\rho} [/mm] = [mm] \gamma -2*\gamma=-\gamma
[/mm]
Also ist die Steigung dann negativ, das bedeutet, dass es kein Wachstum gibt, sondern die Population schrumpft.
Reicht das als "Beweies?"
b)
[mm] u(0)=u_{0}
[/mm]
öhm diese Aufgabe versteh ich nicht wirklich, wenn ich t=0 setzte wird die e-Funktion = 1 , demnach ist das C ( bei dir K) [mm] =u_{0} [/mm]
war es das schon? Oo
Lg xPae
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hi habe
>
> [mm]u'(t)=e^{\gamma*t-\bruch{\rho*a*t²}{2}}*(\gamma-\rho*a*t)[/mm]
> [mm]0=e^{\gamma*t-\bruch{\rho*a*t²}{2}}*(\gamma-\rho*a*t)[/mm]
> der erste Therm kann nicht 0 werden, daher gilt:
> [mm]\gamma-\rho*a*t=0[/mm]
> [mm]t=\bruch{\gamma}{a*\rho}[/mm]
>
> Jetzt kann ich doch einfach einmal ein kleineres und ein
> größeres t einsetzen:
> zum beispiel:
> kleiner:
>
> [mm]t=\bruch{\gamma}{2*a*\rho}[/mm]
> [mm]\gamma-\rho*a*\bruch{\gamma}{2*a*\rho}[/mm] = [mm]\gamma -\bruch{\gamma}{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{\gamma}{2}[/mm]
>
> größer
> [mm]t=\bruch{\gamma*2}{*a*\rho}[/mm]
> [mm]\gamma-\rho*a*\bruch{2*\gamma}{*a*\rho}[/mm] = [mm]\gamma -2*\gamma=-\gamma[/mm]
>
> Also ist die Steigung dann negativ, das bedeutet, dass es
> kein Wachstum gibt, sondern die Population schrumpft.
> Reicht das als "Beweies?"
Besser ist, Du berechnest die zweite Ableitung und zeigst das für die gefunden Stelle [mm] t=\bruch{\gamma}{a*\rho} [/mm] die Kriterien für ein Maximum erfüllt. Dann ist wirklich klar, dass an der der Stelle [mm] t=\bruch{\gamma}{a*\rho} [/mm] ein Maximum vorliegt.
>
> b)
> [mm]u(0)=u_{0}[/mm]
> öhm diese Aufgabe versteh ich nicht wirklich, wenn ich t=0
> setzte wird die e-Funktion = 1 , demnach ist das C ( bei
> dir K) [mm]=u_{0}[/mm]
> war es das schon? Oo
>
Ja, die Lösung lautet [mm] u(t)=u_0e^{\gamma\cdot{}t-\bruch{\rho\cdot{}at^2}{2}}
[/mm]
> Lg xPae
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