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| Aufgabe | Eine Funktion [mm] $s:[a,b]\to \IR$ [/mm] heißt Treppenfunktion, falls es eine Zerlegung [mm] $Z=\{x_0,...,x_n\} [/mm] $ von $ [a,b]$ gibt, so dass s auf jedem Teilintervall [mm] $(x_\(j-1\)$$,x_j),j=1,...,n$ [/mm] konstant ist.
Zeigen Sie, dass jede Treppenfunktion [mm] $f:[a,b]\to \IR$ [/mm] integrierbar ist und berechnen Sie ihr Integral. |
Sei [mm] $Z=\{x_0,...,x_n\}$ [/mm] eine Zerlegung von $[a,b]$
[mm] $m_j=\inf_{x\in {[x_{j-1},x_j]}} f(x)=c_1$
[/mm]
[mm] $M_j=\sup_{x\in {[x_{j-1},x_j]}} f(x)=c_2$
[/mm]
[mm] $U=\summe_{j=1}^{n}m_j*(x_j,x_{j-1})
[/mm]
[mm] $O=\summe_{j=1}^{n}M_j*(x_j,x_{j-1})
[/mm]
Sei
[mm] $\mathcal{U}=\{U_f(Z) | \mbox{Z ist Zerlegung von }[a,b]\}$
[/mm]
[mm] $\mathcal{O}=\{O_f(Z) | \mbox{Z ist Zerlegung von }[a,b]\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow sup\mathcal{U}\le inf\mathcal{O}
[/mm]
z.z. [mm] sup\mathcal{U} [/mm] = [mm] inf\mathcal{O}
[/mm]
[mm] $U_f(Z)=\summe_{j=1}^{n}m_j*(x_j-x_{j-1})$, [/mm] da [mm] m_j [/mm] konstant,
[mm] $\Rightarrow\bruch{n(n+1)}{2}*(x_j-x_{j-1})$
[/mm]
[mm] $\le sup\mathcal{U}$
[/mm]
[mm] $O_f(Z)=\summe_{j=1}^{n}M_j*(x_j-x_{j-1})$, [/mm] da [mm] M_j [/mm] konstant,
[mm] $\Rightarrow\bruch{n(n+1)}{2}*(x_j-x_{j-1})$
[/mm]
[mm] $\le inf\mathcal{O}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow sup\mathcal{U} [/mm] = [mm] inf\mathcal{O}$
[/mm]
Stimmt das so ???
Und wie berechne ich jetzt das Integral?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mo 19.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Eine Funktion [mm]s:[a,b]\to \IR[/mm] heißt Treppenfunktion, falls
> es eine Zerlegung [mm]Z=\{x_0,...,x_n\}[/mm] von [mm][a,b][/mm] gibt, so dass
> s auf jedem Teilintervall [mm](x_\(j-1\)[/mm][mm],x_j),j=1,...,n[/mm]
> konstant ist.
>
> Zeigen Sie, dass jede Treppenfunktion [mm]f:[a,b]\to \IR[/mm]
> integrierbar ist und berechnen Sie ihr Integral.
> Sei [mm]Z=\{x_0,...,x_n\}[/mm] eine Zerlegung von [mm][a,b][/mm]
>
> [mm]m_j=\inf_{x\in {[x_{j-1},x_j]}} f(x)=c_1[/mm]
> [mm]M_j=\sup_{x\in {[x_{j-1},x_j]}} f(x)=c_2[/mm]
Wieso?
>
> [mm]$U=\summe_{j=1}^{n}m_j*(x_j,x_{j-1})[/mm]
> [mm]$O=\summe_{j=1}^{n}M_j*(x_j,x_{j-1})[/mm]
>
> Sei
>
> [mm]\mathcal{U}=\{U_f(Z) | \mbox{Z ist Zerlegung von }[a,b]\}[/mm]
>
> [mm]\mathcal{O}=\{O_f(Z) | \mbox{Z ist Zerlegung von }[a,b]\}[/mm]
>
> [mm]$\Rightarrow sup\mathcal{U}\le inf\mathcal{O}[/mm]
>
> z.z. [mm]sup\mathcal{U}[/mm] = [mm]inf\mathcal{O}[/mm]
Genau, das ist zu zeigen.
>
>
> [mm]U_f(Z)=\summe_{j=1}^{n}m_j*(x_j-x_{j-1})[/mm], da [mm]m_j[/mm] konstant,
Was meinst Du denn damit, dass [mm] m_j [/mm] konstant sei?
> [mm]\Rightarrow\bruch{n(n+1)}{2}*(x_j-x_{j-1})[/mm]
> [mm]\le sup\mathcal{U}[/mm]
>
> [mm]O_f(Z)=\summe_{j=1}^{n}M_j*(x_j-x_{j-1})[/mm], da [mm]M_j[/mm] konstant,
> [mm]\Rightarrow\bruch{n(n+1)}{2}*(x_j-x_{j-1})[/mm]
> [mm]\le inf\mathcal{O}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow sup\mathcal{U} = inf\mathcal{O}[/mm]
>
>
> Stimmt das so ???
Glaube nicht...
Wenn man es "zu Fuß" machen will, würde ich wie folgt vorgehen:
Es gilt ja immer, dass die Untersumme/ das -integral kleiner oder gleich der Obersumme/ dem -integral ist. Außerdem gilt beim Übergang zu einer feineren Partition, das die Untersumme nicht fällt und die Obersumme nicht steigt. Zu einer gegebenen Partition/Zerlegung kann man die konkrete Zerlegung der gegebenen Treppenfunktion nehmen, um immer eine noch feine Zerlegung/Partition zu erhalten. Den "Fehler", der an den [mm] x_i [/mm] der Treppenfunktion auftritt, bei den Intervallen, die die [mm] x_i [/mm] enthalten, geht dann gegen Null, da es nur endlich viele [mm] x_i [/mm] sind.
> Und wie berechne ich jetzt das Integral?
Eine Treppenfunktion hat die Form [mm] f(x)=\summe_{i=0}^n f(x_i)1_{\{x_i\}}(x)+\summe_{i=1}^n c_i1_{(x_{i-1},x_i)}(x)
[/mm]
ist also eine endliche Summe. Wenn Ihr schon die Linearität gezeigt habt, rechne doch einfach das Integral von [mm] 1_{\{x_i\}}(x) [/mm] und [mm] 1_{(x_{i-1},x_i)}(x) [/mm] aus.
LG
gfm
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