Treppenfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mi 19.10.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Berechnen Siedie Integrale folgender treppenfunktionen.
[mm] f_{n}: [/mm] [0,1] [mm] \to [/mm] R mit [mm] f_{n}(x)=k [/mm] für x [mm] \in [/mm] [ [mm] \bruch{k-1}{n}, \bruch{k}{n}] [/mm] (k=1,...n) |
Könnte mir vielleicht jemand sagen was die Funktion ist bzw. was meine Integrationsgrenzen sind??
Wäre sehr nett, die Schreibweise kenne ich nämlich noch nicht!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
setz erstmal n=1,2,3,4
und mal dir dafür die Funktion auf.dann siehst du das allgemeine [mm] f_n [/mm] sicher.
IMMER wenn man nichts weiß versucht man zuerst die einfachsten fälle und wenn irgendmöglich ne skizze. das hebt auch Denkblockaden auf.
in welchem Intervall läuft denn x das sind deine Grenzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 19.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Also die Grenzen sind ja eben [mm] \bruch{k-1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{k}{n}
[/mm]
Allerdings versteh ich immer noch nicht, was meine funktion ist... ist die Funktion einfach f(x) = k
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Hallo sissenge,
die Funktion ist leider nicht ganz sauber definiert, deswegen schreibe ichs hier auch mal rein sprachlich auf.
Für n=4 sieht sie z.B. so aus:
Von x=0 bis ein Viertel ist [mm] f(x)=\tfrac{1}{4}, [/mm] von ein Viertel bis einhalb ist [mm] f(x)=\tfrac{1}{2}, [/mm] von einhalb bis Dreiviertel ist [mm] f(x)=\tfrac{3}{4} [/mm] und von Dreiviertel bis eins ist f(x)=1.
edit: leduart hat Recht. So war die Funktion nicht definiert, auch wenn mich wundert, warum nicht. 
Deswegen "Treppenfunktion".
Grüße
reverend
PS: Siehst Du, wo die Definition unsauber ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 19.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Vielleicht steh ich gerade echt auf dem schlauch.. aber ich versteh leider nicht, wie du auf die Zahlen kommst...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sehen wir [mm] f_3 [/mm] an
setze n=3 und k nacheinander 1,2,3. dann ist [mm] f_3(x) [/mm]
k=1:für [mm] x\in [/mm] ((1-1)/3,1/3)=k=1
k=2 x in ((2-1)/3,2/3) f(x)=k=2
k=3 x [mm] \in(2/3,3/3) [/mm] f(x)=3
du hast also eine Treppenfunktion , die in den 3 Intervallen nacheinander 1 dann 2 dann 3 ist.
bei [mm] f_{17} [/mm] hast du 17 Intervalle im ersten ist f(x)= 1, im letzten also in (16/17 , 1) ist f(x)=17
(reverend hat nen Fehler in seinen f(x) wenn dein f(x)=k stimmt))
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 19.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok... aber was sagt mir immer das x??
Und vorallem wie soll ich dann das Integral berechnen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mi 19.10.2011 | | Autor: | chrisno |
Das x ist die Variable, wie sonst auch. Du musst Dir wirklich die Funktion aufzeichnen, damit Du verstehst, wie das gemeint ist. Mach es wie sonst auch: Nimm einen Wert für x und berechne dann f(x).
Wähle mal x = 0,6.
Das ist ja nun ein [mm] $f_n(x)$. [/mm] Also nimmst Du irgendein n, zum Beispiel 3.
Nun schau nach, wie groß k für diesen Fall ist. Das ist Dein [mm] $f_3(0,6)$.
[/mm]
Nun kannst Du x etwas vergrößern oder verkleinern. Das geht in gewissen immer nGrenzen und das k bleibt och das Gleiche. Also hast Du ein Intervall, in dem [mm] $f_3(x)$ [/mm] diesen Wert k annimmt.
Wie groß ist k und für welches Intervall ist das so?
Zur Berechnung des Integrals musst Du ein paar Rechteckflächen adddieren. Sobald Du die Funktion gezeichnet hast, wirst Du das sehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Sa 22.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Vielen Dank für die Hilfe schonmal!
JEtz habe ich mir die FUnktion aufgezeichnet für n=3, dann erhalte ich drei Rechtecke:
das erste [mm] x\in [/mm] [0, 1/3] f(x)=3
das zweite [mm] x\in [/mm] [1/3.2/3] f(x)=2
das dritte x [mm] \in [/mm] [2/3, 1] f(x)=3
Nun muss ich ja um das Integral zu berechnen, die Rechtecksflächen aufsummieren.
Also [mm] \summe_{i=1}^{n} (\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n})*k
[/mm]
Also der erste Faktor ist ja immer die LÄnge auf der x-Achse eines Rechtecks und der zweite Faktor ist die LÄnge auf der y Achse eines Rechtecks.
WIe kann ich aber eine unbestimmte Summe ausrechnen?
Nun haben wir in der Vorlesung eine Formel aufgeschrieben [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{1}-x_{i-1})
[/mm]
Was bedeutet hier das [mm] c_{i}??
[/mm]
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Hallo sissenge,
> Vielen Dank für die Hilfe schonmal!
> JEtz habe ich mir die FUnktion aufgezeichnet für n=3,
Jetzt schon?
> dann erhalte ich drei Rechtecke:
> das erste [mm]x\in[/mm] [0, 1/3] f(x)=3
Tippfehler? f(x)=1
> das zweite [mm]x\in[/mm] [1/3.2/3] f(x)=2
> das dritte x [mm]\in[/mm] [2/3, 1] f(x)=3
>
> Nun muss ich ja um das Integral zu berechnen, die
> Rechtecksflächen aufsummieren.
>
> Also [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n})*k[/mm]
Ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also
> der erste Faktor ist ja immer die LÄnge auf der x-Achse
> eines Rechtecks und der zweite Faktor ist die LÄnge auf
> der y Achse eines Rechtecks.
>
> WIe kann ich aber eine unbestimmte Summe ausrechnen?
Was heißt denn hier unbestimmt?
[mm] \cdots=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}*k=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}k
[/mm]
...und diese Summe solltest Du kennen. Wenn nicht, steht sie höchstwahrscheinlich als erster Eintrag in einer Formelsammlung in der Abteilung Summen. google hilft Dir mit einer Suche nach Dreieckszahlen oder vielleicht auch Gaußscher Summenformel; es gibt da so eine Geschichte über den kleinen Carl Friedrich...
> Nun haben wir in der Vorlesung eine Formel aufgeschrieben
> [mm]\summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{1}-x_{i-1})[/mm]
> Was bedeutet hier
> das [mm]c_{i}??[/mm]
Keine Ahnung.
Wie geht die Formel denn weiter? Dann kann mans vielleicht noch rekonstruieren.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Sa 22.10.2011 | | Autor: | sissenge |
In meiner Angabe steht noch, dass [mm] f_{n} [/mm] : [0,1] [mm] \to [/mm] R
Heißt dass nicht, dass mein [mm] f_{n} [/mm] eh nur im Bereich von 0 bis 1 liegt, also ich nur den Bereich anschaue, wo x ziwschen 0 und 1 liegt oder habe ich das falsch verstanden??
Es steht noch dabei bei der FOrmel mit [mm] \phi [/mm] (dann kommt eine länger vertikaler Strich, was bedeutet der??) und dann tiefer gestellt [mm] (x_{n}-1,..,x_{i}) [/mm] = [mm] c_{i} [/mm]
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Hallo,
> In meiner Angabe steht noch, dass [mm]f_{n}[/mm] : [0,1] [mm]\to[/mm] R
>
> Heißt dass nicht, dass mein [mm]f_{n}[/mm] eh nur im Bereich von 0
> bis 1 liegt, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") also ich nur den Bereich anschaue, wo x
> ziwschen 0 und 1 liegt oder habe ich das falsch
> verstanden??
Der Definitionsbereich ist [mm] x\in[0,1], [/mm] der Wertebereich ist aber [mm] \IR [/mm] bzw. hier sogar [mm] \IN.
[/mm]
> Es steht noch dabei bei der FOrmel mit [mm]\phi[/mm] (dann kommt
> eine länger vertikaler Strich, was bedeutet der??) und
> dann tiefer gestellt [mm](x_{n}-1,..,x_{i})[/mm] = [mm]c_{i}[/mm]
Das sagt mir immer noch nichts. Ich habe nicht den Eindruck, dass die Formel irgend etwas mit dieser Aufgabe zu tun hat.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Sa 22.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Also muss ich meine SUmmer dann nur bis n=3 "machen", da dann die FUnktion bzw. die x-Werte im Bereich null bis eins liegen??
MHm... dann werde ich nochmal meinen Professor fragen..
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Hallo nochmal,
> Also muss ich meine SUmmer dann nur bis n=3 "machen", da
> dann die FUnktion bzw. die x-Werte im Bereich null bis eins
> liegen??
Ja, genau.
> MHm... dann werde ich nochmal meinen Professor fragen..
Wozu? Du bist doch jetzt fast fertig.
Hast Du die Summe der ersten n natürlichen Zahlen inzwischen gefunden? Dann kannst Du das Ergebnis für beliebiges n doch direkt hinschreiben!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Sa 22.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Wenn ich jetzt die Gaußsche SUmmenformel hingeschrieben habe, kann ich diese dann aber nicht ausrechnen oder? Denn ich habe ja kein festes n...
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Hallo...
> Wenn ich jetzt die Gaußsche SUmmenformel hingeschrieben
> habe, kann ich diese dann aber nicht ausrechnen oder? Denn
> ich habe ja kein festes n...
Tja, wenn kein n gegeben ist, hat man halt keins, sondern nimmt es als Parameter. Trotzdem kannst Du das geforderte Integral dann doch bestimmen, nur eben abhängig von n.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Sa 22.10.2011 | | Autor: | sissenge |
WIe kommst du denn auf Die summe [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n * k
???
Blödsinn hat sich erledigt!!
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:06 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo reverend, du hast dich bei der Def, von [mm] f_n(x)=k [/mm] vertan
Gruss leduart
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