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| Aufgabe | Gegeben ist [mm] n\ge [/mm] 2 eine beliebige, aber feste natürliche Zahl. Wir betrachten die Tridiagonalmatrix
A = [mm] (a_{ij})\in \iR^{nxn} [/mm] mit
[mm] (a_{ij})=\begin{cases} \alpha, & \mbox{für } i=j \\ -1, & \mbox{für } |i-j|=1 \\ 0, & \mbox sonst \end{cases}
[/mm]
Weiterhin ist [mm] \psi :=\bruch{\pi}{(n+1)} [/mm]
Zeige für j=1,..,n dass der Vektor [mm] x_j=(sin(j\psi),sin(2j\psi),..,sin(nj\psi))^T\in \IR [/mm] der Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda_j=\alpha-2cos(j\psi) [/mm] ist.
Welche Bedingung muss [mm] \alpha [/mm] erfüllern, damit A positiv definit ist? |
Es wäre sehr neet, wenn mir das jemand Schritt für Schritt ganz ausführlich erklären kann. Ich weiß leider gar nicht was ich bei dieser Aufgabe machen soll und das ganze Thema ist mir noch recht fremd. Ich möchte die Aufgabe gerne verstehen und hoffe, ihr könnt mir dabei helfen.
Ich glaube ich muss folgendes anwenden:
(A − [mm] \lambda*E)x [/mm] = 0
Wenn die Eigenwerte größer Null sind müsste die Matrix doch positiv definit sein oder?
Mathegirl
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> Gegeben ist [mm]n\ge[/mm] 2 eine beliebige, aber feste natürliche
> Zahl. Wir betrachten die Tridiagonalmatrix
> A = [mm](a_{ij})\in \iR^{nxn}[/mm] mit
>
> [mm](a_{ij})=\begin{cases} \alpha, & \mbox{für } i=j \\
-1, & \mbox{für } |i-j|=1 \\
0, & \mbox sonst \end{cases}[/mm]
>
> Weiterhin ist [mm]\psi :=\bruch{\pi}{(n+1)}[/mm]
> Zeige für j=1,..,n dass der Vektor
> [mm]x_j=(sin(j\psi),sin(2j\psi),..,sin(nj\psi))^T\in \IR[/mm] der
> Eigenvektor von A zum Eigenwert
> [mm]\lambda_j=\alpha-2cos(j\psi)[/mm] ist.
> Welche Bedingung muss [mm]\alpha[/mm] erfüllern, damit A positiv
> definit ist?
>
> Es wäre sehr neet, wenn mir das jemand Schritt für
> Schritt ganz ausführlich erklären kann. Ich weiß leider
> gar nicht was ich bei dieser Aufgabe machen soll
Hallo,
um durchzublicken, solltest Du die Aufgabe nicht gleich allgemein lösen für beliebiges n, sondern mal für ein ganz konkretes.
Sagen wir: n=3.
Nun "übersetze" zunachst mal die Aufgabenstellung.
Dazu stell erstmal die Matrix A auf.
Die [mm] a_i_j [/mm] kannst Du oben in der Vorschrift ablesen.
Was ist [mm] a_1_1, a_1_2, a_1_3,a_2_1 [/mm] usw.
Schreib dann die Matrix hin.
Was ist [mm] \psi?
[/mm]
Nun notiere die drei Vektoren, von denen Du zeigen sollst, daß sie Eigenvektoren sind, und schreibe auch die 3 zugehörigen Eigenwerte mit hin.
Für all das braucht man kein bißchen zu rechnen.
> Ich glaube ich muss folgendes anwenden:
> (A − [mm]\lambda*E)x[/mm] = 0
Ja, genau. Bzw. umgeformt [mm] Ax=\lambda [/mm] x.
Du nimmst jetzt Deine Matrix, den Eigenvektor [mm] x_1 [/mm] und den Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] und guckst einfach nach (rechnen), ob [mm] Ax_1=\lambda_1x_1 [/mm] stimmt.
Dasselbe Spielchen auch für den 2. und 3.
> Wenn die Eigenwerte größer Null sind müsste die Matrix
> doch positiv definit sein oder?
Bei symmetrischen Matrizen ist das so.
Ist die Matrix symmetrisch?
So, nun bist Du dran.
Gruß v. Angela
>
> Mathegirl
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[mm] A_3=\pmat{ \alpha & -1 & 0 \\ -1 & \alpha & -1 \\ 0 & -1 & \alpha }
[/mm]
[mm] \psi:=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
[mm] x_1=sin(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
[mm] x_2=sin(\pi)
[/mm]
[mm] x_3=sin(\bruch{9\pi}{4})
[/mm]
[mm] \lambda_1=\alpha-2cos(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
[mm] \lambda_2=\alpha-2cos(\bruch{2\pi}{4})
[/mm]
[mm] \lambda_3=\alpha-2cos(\bruch{3\pi}{4})
[/mm]
[mm] Ax_1=\pmat{ \alpha & -1 & 0 \\ -1 & \alpha & -1 \\ 0 & -1 & \alpha }*sin(\bruch{\pi}{4})= \alpha-2cos(\bruch{\pi}{4})*sin(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Meinst du, dass ich mir das so erstmal klar machen soll?
Aber ich glaube das [mm] Ax_1=\lambda_1*x_1 [/mm] ist so nicht richtig formuliert oder?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A_3=\pmat{ \alpha & -1 & 0 \\ -1 & \alpha & -1 \\ 0 & -1 & \alpha }[/mm]
>
> [mm]\psi:=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> [mm]x_1=sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]x_2=sin(\pi)[/mm]
>
> [mm]x_3=sin(\bruch{9\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=\alpha-2cos(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]\lambda_2=\alpha-2cos(\bruch{2\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]\lambda_3=\alpha-2cos(\bruch{3\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]Ax_1=\pmat{ \alpha & -1 & 0 \\ -1 & \alpha & -1 \\ 0 & -1 & \alpha }*sin(\bruch{\pi}{4})= \alpha-2cos(\bruch{\pi}{4})*sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Meinst du, dass ich mir das so erstmal klar machen soll?
> Aber ich glaube das [mm]Ax_1=\lambda_1*x_1[/mm] ist so nicht
> richtig formuliert oder?
Nein. Wenn Du die Matrix mit einer Zahl von rechts multiplizierst und nicht mit einem Vektor kann ja nur Quatsch herauskommen !
FRED
>
> Mathegirl
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> [mm]A_3=\pmat{ \alpha & -1 & 0 \\
-1 & \alpha & -1 \\
0 & -1 & \alpha }[/mm]
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> [mm]\psi:=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> [mm]x_1=sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]x_2=sin(\pi)[/mm]
>
> [mm]x_3=sin(\bruch{9\pi}{4})[/mm]
Hallo,
[mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] sollen doch die Eigenvektoren sein.
In der Aufgabenstelleung steht, daß [mm] x_j:=(sin(j\psi),sin(2j\psi),..,sin(nj\psi))^T.
[/mm]
Für j=1 hast Du also [mm] x_1=(sin(1*\psi), sin(2*1*\psi), sin(3*1*\psi)).
[/mm]
Die anderen entsprechend. Dann funktioniert auch die Multiplikation mit der Matrix.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\lambda_1=\alpha-2cos(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]\lambda_2=\alpha-2cos(\bruch{2\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]\lambda_3=\alpha-2cos(\bruch{3\pi}{4})[/mm]
>
> [mm]Ax_1=\pmat{ \alpha & -1 & 0 \\
-1 & \alpha & -1 \\
0 & -1 & \alpha }*sin(\bruch{\pi}{4})= \alpha-2cos(\bruch{\pi}{4})*sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
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> Meinst du, dass ich mir das so erstmal klar machen soll?
> Aber ich glaube das [mm]Ax_1=\lambda_1*x_1[/mm] ist so nicht
> richtig formuliert oder?
>
> Mathegirl
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okay, aber muss ich das [mm] \psi [/mm] nicht bei den Eigenvektoren schon einsetzen?
Ich rechne das gleich mal vor!
Danke für den Tipp!
Mathegirl
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> okay, aber muss ich das [mm]\psi[/mm] nicht bei den Eigenvektoren
> schon einsetzen?
Hallo,
ja, so ist das gedacht.
Gruß v. Angela
> Ich rechne das gleich mal vor!
> Danke für den Tipp!
>
> Mathegirl
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[mm] \pmat{ \alpha & -1 & 0 \\ -1 & \alpha & -1 \\ 0 & -1 & \alpha }\pmat{ sin\bruch{\pi}{2} \\ sin\pi \\ sin\bruch{9\pi}{4}}= \pmat{ \alpha-2cos\bruch{\pi}{2} \\ \alpha-2cos\bruch{2\pi}{4} \\ \alpha-2cos\bruch{9\pi}{4} }\pmat{ sin\bruch{\pi}{2} \\ sin\pi \\ sin\bruch{9\pi}{4} }
[/mm]
Stimmt das so, wenn ich das für n=3 zeige? Bzw ist das so richtig berechnet, aufgeschrieben?
Aber was bringt mir das jetzt für meine Aufgabenstellung?
Ich soll ja zeigen, dass [mm] x_j [/mm] der Eigenvektor von A zum Eigenwert ist .
Und welche Bedingungen [mm] \alpha [/mm] erfüllen muss, damit A positiv definit ist.
Mathegirl
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stimmt das so? Aber wie zeige ich das allgemein?
Mathegirl
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> stimmt das so? Aber wie zeige ich das allgemein?
>
> Mathegirl
Hallo,
es stimmt nicht, und davon, im Speziellen irgendwas gezeigt zu haben, bist Du auch noch weit entfernt.
Das erst Ziel wäre ja mal, für ein konkretes n, hier n=3, hinzuschreiben, was gezeigt werden soll.
Das Zeigen im speziellen Fall käme danach.
Falls ich später Nerven wie Drahtseile habe und sich niemand vorher berufen fühlt, kümmere ich mich nochmal darum.
Bis dahin kannst Du schonmal drüber nachdenken,
was das Produkt Matrix*Vektor ergibt (Zahl, Vektor, Türklinke, junge Katzen?), und von welcher Beschaffenheit Eigenwerte sind (Zahl, Vektor, Türklinke, junge Katzen?)
Gruß v. Angela
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> [mm]\pmat{ \alpha & -1 & 0 \\
-1 & \alpha & -1 \\
0 & -1 & \alpha }\pmat{ sin\bruch{\pi}{2} \\
sin\pi \\
sin\bruch{9\pi}{4}}= \pmat{ \alpha-2cos\bruch{\pi}{2} \\
\alpha-2cos\bruch{2\pi}{4} \\
\alpha-2cos\bruch{9\pi}{4} }\pmat{ sin\bruch{\pi}{2} \\
sin\pi \\
sin\bruch{9\pi}{4} }[/mm]
>
> Stimmt das so, wenn ich das für n=3 zeige? Bzw ist das so
> richtig berechnet, aufgeschrieben?
>
> Aber was bringt mir das jetzt für meine Aufgabenstellung?
> Ich soll ja zeigen, dass [mm]x_j[/mm] der Eigenvektor von A zum
> Eigenwert ist .
> Und welche Bedingungen [mm]\alpha[/mm] erfüllen muss, damit A
> positiv definit ist.
Hallo,
das, was Du schreibst ist falsch.
Weißt Du eigentlich, was ein Eigenvektor ist? Und was ein Eigenwert?
Wenn ja, dann wirst Du schnell sehen, daß das da oben ganz großer Müll ist.
Nochmal die Aufgabenstellung:
| Aufgabe 1 | Gegeben ist [mm] n\ge [/mm] 2 eine beliebige, aber feste natürliche Zahl. Wir betrachten die Tridiagonalmatrix
A = [mm] (a_{ij})\in \iR^{nxn} [/mm] mit
[mm] (a_{ij})=\begin{cases} \alpha, & \mbox{für } i=j \\ -1, & \mbox{für } |i-j|=1 \\ 0, & \mbox sonst \end{cases}
[/mm]
Weiterhin ist [mm] \psi :=\bruch{\pi}{(n+1)}
[/mm]
Zeige für j=1,..,n dass der Vektor [mm] x_j=(sin(j\psi),sin(2j\psi),..,sin(nj\psi))^T\in \IR [/mm] der Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda_j=\alpha-2cos(j\psi) [/mm] ist.
Welche Bedingung muss [mm] \alpha [/mm] erfüllern, damit A positiv definit ist? |
Der Vorschlag war, dies zunächst einmal für n=3 zu verstehen und durchzuführen, bevor Du die eigentliche Aufgabe bearbeitest.
Also die abgespeckte Aufgabe:
| Aufgabe 2 | Wir betrachten die Tridiagonalmatrix
A = [mm] (a_{ij})\in \iR^{3\times 3} [/mm] mit
[mm] (a_{ij})=\begin{cases} \alpha, & \mbox{für } i=j \\ -1, & \mbox{für } |i-j|=1 \\ 0, & \mbox sonst \end{cases}
[/mm]
Weiterhin ist [mm] \psi :=\bruch{\pi}{(4)}
[/mm]
Zeige für j=1,..,3 dass der Vektor [mm] x_j=(sin(j\psi),sin(2j\psi),sin(3j\psi))^T\in \IR [/mm] der Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda_j=\alpha-2cos(j\psi) [/mm] ist.
Welche Bedingung muss [mm] \alpha [/mm] erfüllern, damit A positiv definit ist? |
Die Matrix A hattest Du ja schon mit Bravour aufgestellt, und es wäre schön, wenn Du jetzt mal hinschreiben könntest, was
[mm] x_1 [/mm] und [mm] \lambda_1,
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] und [mm] \lambda_2,
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm]
ist. (Mit Gleichheitszeichen und allem. Damit man nicht raten muß, was was darstellen soll.)
Ich glaube, wir hatten es schon irgendwo erwähnt:
um zu schauen, ob [mm] x_j [/mm] Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda_j [/mm] ist, mußt Du schauen (=nachrechnen), ob [mm] Ax_j=\lambda_jx_j [/mm] richtig ist, und zwar für j=1,2,3.
Gruß v. Angela
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