Trigonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo miteinander,
ich befasse mich gerade mit trigonalisierbaren Matrizen. Als Def. hab ich hier stehen:
Eine (nxn) Matrix A ist trigonalisierbar, falls [mm] det(A-\lambda [/mm] E) in Linearfaktoren zerfällt.
Hmmm...was heißt denn in Linearfaktoren zerfallen?
Hier hab ich ein Bsp:
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 }
[/mm]
[mm] det(A-\lambda [/mm] E)
= [mm] (1-\lambda) \pmat{ 1-\lambda & 1 \\ -1 & 1-\Lambda } [/mm] - 0 (blabla) + 0 (blabla)
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zusammenfassend: Was genau heißt trigonalisierbar bzw Linearfaktoren. Wann ist eine Matrix trigonalisierbar? (und gleichzeitig nicht (!) diagonalisierbar?)
Danke schonmal!
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> Hallo miteinander,
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> ich befasse mich gerade mit trigonalisierbaren Matrizen.
> Als Def. hab ich hier stehen:
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> Eine (nxn) Matrix A ist trigonalisierbar, falls
> [mm]det(A-\lambda[/mm] E) in Linearfaktoren zerfällt.
Hallo,
ich würde das eher als Satz bezeichnen. Eine Definition ist das nicht.
> Hmmm...was heißt denn in Linearfaktoren zerfallen?
Du kannst das charakteristische Polynom, also [mm] det(A-\lambda [/mm] E) schreiben als Produkt von Faktoren der Form [mm] (a_i [/mm] - [mm] \lambda).
[/mm]
X(A)=(1- [mm] \lambda)(2 [/mm] - [mm] \lambda)(3- \lambda) [/mm] ist ein in Lienarfaktoren zerfallendes Polynom,
[mm] X(B)=(1-\lambda)(2+\lambda^2) [/mm] zerfällt über [mm] \IR [/mm] nicht in Linearfaktoren, der zweite Faktor hat ja keine Nullstellen.
>
> Hier hab ich ein Bsp:
>
> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]det(A-\lambda[/mm] E)
>
> = [mm](1-\lambda) \pmat{ 1-\lambda & 1 \\ -1 & 1-\Lambda }[/mm] - 0
> (blabla) + 0 (blabla)
[mm] =(1-\lambda) ((1-\lambda)^2+1)=(1-\lambda) (2-2\lambda +\lambda^2)
[/mm]
[mm] (2-2\lambda +\lambda^2) [/mm] hat keine Nullstellen über [mm] \IR, [/mm] zerfällt also nicht in Linearfaktoren.
Somit zerfällt also das ganze Polynom nicht in Linearfaktoren, die Matrix ist nicht trigonalisierbar.
>
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> zusammenfassend: Was genau heißt trigonalisierbar bzw
> Linearfaktoren.
Trigonalisierbar: ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix.
> Wann ist eine Matrix trigonalisierbar?
Trigonalisierbar <==> charakteristisches Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
> (und
> gleichzeitig nicht (!) diagonalisierbar?)
Wenn die Matrix trigonalisierbar ist, aber nicht diagonalisierbar, so hat sie einen mehrfachen Eigenwert, dessen geometrische Vielfachheit (Dim. des Eigenraumes) nicht der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes gleich ist.
Alternativ: Wenn die Matrix trigonalisierbar ist, aber nicht diagonalisierbar, so zerfällt Ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren, das Minimalpolynom (zerfällt auch) hat nicht nur einfache Nullstellen.
Gruß v. Angela
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Hi,
danke erstmal. Aber wenn jetzt die Aufgabe lautet: "Nenne eine trigonalisierbare Matrix." Wie geh ich dann am Besten dran. Könnt ihr mir da vlt einen Tipp geben, um dies zu erleichtern!? 
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> Hi,
>
> danke erstmal. Aber wenn jetzt die Aufgabe lautet: "Nenne
> eine trigonalisierbare Matrix." Wie geh ich dann am Besten
> dran. Könnt ihr mir da vlt einen Tipp geben, um dies zu
> erleichtern!?
Hallo,
wenn Du wirklich wüßtest, was trigonalisierbar bedeutet, würdest Du diese Frage nicht stellen.
Guck Dir das nochmal an.
Möchtest Du wirklich wissen, was ich in diesem Fall täte? Ich würde einfach eine obere Dreiecksmatrix [mm] \Delta [/mm] hinschreiben. Fertig.
Ntürlich kann man die Sache noch ein bißchen verschleiern, indem man sich zusatzlich irgendeine invertierbare Matrix T nimmt, [mm] T^{-1}\Delta [/mm] T berechnet und diese Matrix hinschreibt.
Gruß v. Angela
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Ich glaub, jetzt ist der Groschen gefallen.
Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, ist sie auch trigonalisierbar.
Wie du gesagt hast: Einfach obere Dreiecksmatrix bilden und falls sie trigonalisierbar sein soll, aber nicht diagonalisierbar, dann einfach obere DRM und oberhalb der Hauptdiagonalen eine Zahl ungleich 0 einsetzen (damit sie nicht mehr diagonalisierbar ist). Fertig.
Bei einer 2x2 Matrix (trig. aber nicht diago.) wäre es zB
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Richtig?
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> Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, ist sie auch
> trigonalisierbar.
Hallo,
ja, weil ja eine Diagonalmatrix auch eine obere Dreiecsmatrix ist.
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> Wie du gesagt hast: Einfach obere Dreiecksmatrix bilden und
> falls sie trigonalisierbar sein soll, aber nicht
> diagonalisierbar,
Ich hatte eigentlich nur auf die Frage nach der trigonalisierbaren Matrix geantwortet.
> Bei einer 2x2 Matrix (trig. aber nicht diago.) wäre es zB
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Richtig?
Diese Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix, welche nicht diagonalisierbar ist.
Ihr charakteristisches Polynom ist [mm] X(\lambda)=\lambda^2, [/mm] die Null ist Eigenwert,
die geom. Vielfachheit des EWes 0 ist 1, also nicht diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mi 05.01.2011 | | Autor: | DDerigs |
| Aufgabe | $ [mm] =(1-\lambda) ((1-\lambda)^2-1)=(1-\lambda) (-2\lambda +\lambda^2)=-\lambda (1-\lambda)(2-\lambda), [/mm] $
zerfällt also in Linearfaktoren. |
Ich habe das Thema als einziges Beispiel über google gefunden, das charakteristische Polynom ist falsch berechnet (Vorzeichenfehler).
Richtig kommt raus:
$ [mm] =(1-\lambda) ((1-\lambda)^2 [/mm] - [mm] (-1))=(1-\lambda) [/mm] (2 - [mm] 2\lambda +\lambda^2)=-\lambda^3 [/mm] + [mm] 3\lambda^2 [/mm] - [mm] 4\lambda [/mm] + 2$
Und das zerfällt ja eben nicht in Linearfaktoren für [mm] $\IR$.
[/mm]
Nullstellen: 1, 1-i, 1+i
Somit die die Matrix eben NICHT trigonalisierbar, oder?
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> [mm]=(1-\lambda) ((1-\lambda)^2-1)=(1-\lambda) (-2\lambda +\lambda^2)=-\lambda (1-\lambda)(2-\lambda),[/mm]
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> zerfällt also in Linearfaktoren.
> Ich habe das Thema als einziges Beispiel über google
> gefunden, das charakteristische Polynom ist falsch
> berechnet (Vorzeichenfehler).
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
In der Tat: ein Vorzeichenfehler. Das ist ja ärgerlich!
>
> Richtig kommt raus:
> [mm]=(1-\lambda) ((1-\lambda)^2 - (-1))=(1-\lambda) (2 - 2\lambda +\lambda^2)=-\lambda^3 + 3\lambda^2 - 4\lambda + 2[/mm]
>
> Und das zerfällt ja eben nicht in Linearfaktoren für
> [mm]\IR[/mm].
> Nullstellen: 1, 1-i, 1+i
>
> Somit die die Matrix eben NICHT trigonalisierbar, oder?
Ja, genau.
Gruß v. Angela
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