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| Aufgabe | | sin(α+β)= sinα*cosβ+sinβ*cosα |
Ich kann ersehen, dass diese Formel stimmt, aber ich verstehe nicht warum. Deshalb bitte ich um eine Erklärung, die es darlegt, ohne Abschnitte einfach vorauszusetzen. Für mich ist nicht ersichtlich, warum [mm] sin\alpha [/mm] mit cos [mm] \beta [/mm] multipliziert und mit sin [mm] \beta *cos\alpha [/mm] den sinus der addierten Winkelgrösse ergibt.
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mi 10.03.2010 | | Autor: | abakus |
> sin(α+β)= sinα*cosβ+sinβ*cosα
> Ich kann ersehen, dass diese Formel stimmt, aber ich
> verstehe nicht warum. Deshalb bitte ich um eine Erklärung,
> die es darlegt, ohne Abschnitte einfach vorauszusetzen.
> Für mich ist nicht ersichtlich, warum [mm]sin\alpha[/mm] mit cos
> [mm]\beta[/mm] multipliziert und mit sin [mm]\beta *cos\alpha[/mm] den sinus
> der addierten Winkelgrösse ergibt.
>
> Vielen Dank.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Hallo,
[Dateianhang nicht öffentlich]
für den Flächeninhalt des abgebildeten Dreiecks gilt einerseits
[mm] A=0,5b*c*sin(\alpha+\beta), [/mm] andererseits [mm] A=0,5(c*h*sin\alpha [/mm] + [mm] b*h*sin\beta).
[/mm]
Gleichsetzen und Division durch 0,5bc führt zu
[mm] sin(\alpha+\beta)=\bruch{h*sin\alpha}{b} [/mm] + [mm] \bruch{h*sin\beta}{c}
[/mm]
Aus h/b bzw. h/c wird jeweils ein Kosinus...
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | | [mm] A=0,5(c\cdot{}h\cdot{}sin\alpha [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}h\cdot{}sin\beta). [/mm] |
Vielen Dank. Leider weiss ich auch nicht, wie sich [mm] A=0,5(c\cdot{}h\cdot{}sin\alpha [/mm] $ + $ [mm] b\cdot{}h\cdot{}sin\beta). [/mm] herleiten lässt noch die erstere Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks. Soweit ich weiss, ist der Flächeninhalt 0.5g*h.
Ich hoffe, meine Fragen sind nicht zu dumm.
Vielen Dank nochmal für deine Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 10.03.2010 | | Autor: | abakus |
> [mm]A=0,5(c\cdot{}h\cdot{}sin\alpha[/mm] [mm]+[/mm]
> [mm]b\cdot{}h\cdot{}sin\beta).[/mm]
> Vielen Dank. Leider weiss ich auch nicht, wie sich
> [mm]A=0,5(c\cdot{}h\cdot{}sin\alpha[/mm] [mm]+[/mm]
> [mm]b\cdot{}h\cdot{}sin\beta).[/mm] herleiten lässt noch die
> erstere Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks. Soweit
> ich weiss, ist der Flächeninhalt 0.5g*h.
Die Höhe eines Dreiecks teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke.
In jedem dieser beiden Teildreiecke lässt sie sich als Produkt aus der längsten Seite des Teildreiecks mit dem Sinus des der Höhe gegenüberliegenden Winkels schreiben.
Meine erse Formel benutzt diesen Zusammenhang auch, und drückt dabei lediglich den gesamten Flächeninhalt als Summe der beiden Teildreiecke (mit ausgeklammerten Faktor 0,5) aus.
> Ich hoffe, meine Fragen sind nicht zu dumm.
>
> Vielen Dank nochmal für deine Antworten.
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| Aufgabe | | [mm] A=0.5b*c*sin(\alpha+\beta) [/mm] |
Danke!! Die zweite Formel erscheint mir jetzt sehr plausibel, allerdings kann ich noch nicht ersehen, inwiefern die erste Formel [mm] 0.5b*c*sin(\alpha+\beta) [/mm] eine Addition der beiden Teildreiecke ist, da ich dies gerade für die zweite Formel erblicken kann.
Danke nochmals.
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Hallo, mit besagter Formel berechnest du doch den Flächeninhalt des (großen) Dreiecks BCD, die Seiten b und c schließen den Winkel am Punkt D ein, der ist nun mal [mm] \alpha+\beta, [/mm] Steffi
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Danke. Leider ist meine Frage immer wieso diese Formel den Flächeninhalt des grossen Dreiecks bezeichnet. Bei Höhe mal Grundseite durch 2 kann ich das verstehen. Hier ist es aber so, dass die Höhe mal die zwei der Grundseite gegenüberliegenden Seiten mal dem Sinus von [mm] \alpha+\beta [/mm] durch zwei sind. Natürlich verstehe ich auch warum der [mm] sin\alpha [/mm] =d1/c (d1+d2=d) ist und somit die zweite Formel Sinn macht.
Wenn ihr euch noch um diese Nachfrage kümmern könntet, wäre ich euch sehr verbunden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Do 11.03.2010 | | Autor: | weduwe |
wenn du die formel [mm]A=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot sin(\alpha+\beta)[/mm] meinst:
zeichne die höhe [mm] h_b [/mm] auf die seite b ein, dann gilt für sie:
[mm] h_b=c\cdot sin(\alpha+\beta) [/mm]
woraus die formel folgt
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| Aufgabe | | [mm] h_b=c*sin(\alpha+\beta) [/mm] |
Danke. Wiederum die Frage: Woher nimmst du [mm] h_b=c*sin(\alpha+\beta).
[/mm]
Was ich ersehen kann, ist [mm] sin\alpha=d_1/c [/mm] und [mm] sin\beta=d_2/b [/mm] ergibt, wobei [mm] d_1 [/mm] die Strecke zwischen BE bezeichnet und [mm] d_2 [/mm] die Strecke zwischen EC bezeichnet, also [mm] d_1+d_2=d. [/mm] Daraus folgt für den Flächeninhalt des Gesamtdreiecks [mm] d*h/2=sin\alpha*c*h+sin\beta*b*h, [/mm] was ja der zweiten Formel von abakus entspricht. Ich kann daraus aber nicht ersehen, wie man auf [mm] 0.5b*c*sin(\alpha+\beta) [/mm] kommen kann. Ich kann ausserdem ersehen, warum [mm] cos\alpha=h/c [/mm] ist und warum und [mm] cos\beta=h/b [/mm] ist. Wie man dieses aber nun in die obrige Gleichung einsetzen und [mm] sin(\alpha+\beta)=sin\alpha*cos\beta+sin(\beta*cos\alpha) [/mm] bekommt. Anders gefragt: Warum er Flächeninhalt des gesamten Dreiecks g*h/2 und 0.5 [mm] b*c*sin(\alpha+\beta) [/mm] ist, also [mm] g*h/2=b*c*sin(\alpha+\beta) [/mm] ist, vor allen Dingen im Hinblick auf die Tatsache, dass das Dreieck BCD keinen angegeben rechten Winkel hat?
Nochmals vielen Dank und Entschuldigung für die Behäbigkeit meines Gehirns.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Do 11.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne doch ein Dreieck, und zeichne die Höhe auf b ein. Wie kannst du die aus dem Winkel bei C (der ist [mm] \alpha+\beta) [/mm] und c ausrechnen?
Gruss leduart
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Hallo theromanian une herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
da du Student im Grundstudium bist und sicher mit komplexen Zahlen vertraut bist, hier eine algebraische Alternative, die - wie ich finde - sehr elegant ist ...
> sin(α+β)= sinα*cosβ+sinβ*cosα
> Ich kann ersehen, dass diese Formel stimmt, aber ich
> verstehe nicht warum. Deshalb bitte ich um eine Erklärung,
> die es darlegt, ohne Abschnitte einfach vorauszusetzen.
> Für mich ist nicht ersichtlich, warum [mm]sin\alpha[/mm] mit cos
> [mm]\beta[/mm] multipliziert und mit sin [mm]\beta *cos\alpha[/mm] den sinus
> der addierten Winkelgrösse ergibt.
Es ist [mm] $e^{i(\alpha+\beta}=\cos(\alpha+\beta)+i\cdot{}\sin(\alpha+\beta)$
[/mm]
Also [mm] $\operatorname{Im}\left(e^{i(\alpha+\beta)}\right)=\sin(\alpha+\beta)$
[/mm]
Andererseits: [mm] $\operatorname{Im}\left(e^{i(\alpha+\beta)}\right)=\operatorname{Im}\left(e^{i\alpha}\cdot{}e^{i\beta}\right)=\operatorname{Im}\left[\left(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)\right)\cdot{}\left(\cos(\beta)+i\sin(\beta)\right)\right]=\operatorname{Im}\left(\ldots\right)$
[/mm]
Einfach ausrechnen ...
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> Vielen Dank.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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LG
schachuzipus
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